undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

À savoir refaire

Règles de base de la géométrie dans l’espace

Solides usuels et représentation

Positions relatives de droites et plan, parallélisme

Graphiques

Positions relatives de droites et plan, parallélisme

- A$$2$$ droites de l’espace
  - Définition
    Définition de $2$ droites parallèles
    Dire que $2$ droites de l’espace sont parallèles signifie qu’elles sont dans un même plan et qu’elles n’ont pas de point commun.
  - Remarque
    Dans l’espace, des droites qui n’ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles !
  - Définition
    Droites non coplanaires
    Deux droites de l’espace sont dites non coplanaires s’il n’existe aucun plan contenant en même temps les $2$ droites.
  - Rappel
    Positions relatives de $2$ droites
    Dans l’espace, $2$ droites peuvent être :
    
    soit sécantes en $1$ point ;
    
    soit parallèles ou confondues ;
    
    soit non coplanaires.
  - Propriété
    Transitivité du parallélisme
    
    Soient $d$ , $d'$ et $d''$ trois droites de l’espace.
    
    Si $d$ est parallèle à $d'$ et si $d'$ est parallèle à $d''$ alors d est parallèle à $d''$ .
- BPositions relatives de $$2$$ plans de l’espace
  - Règle
    Position relative de $2$ plans
    Dans l’espace, $2$ plans peuvent être :
    
    soit strictement parallèles (ils ne possèdent aucun point commun) ;
    
    soit confondus ;
    
    soit sécants selon une droite.
- CPosition relative d’un plan et d’une droite de l’espace
  - Règle
    Position relative d’un plan et d’une droite
    Dans l’espace :
    
    une droite peut être incluse dans un plan, c’est-à-dire que tous les points de la droite sont aussi des points du plan ;
    
    une droite peut être parallèle à un plan : elle ne possède aucun point commun avec le plan ;
    
    une droite et un plan peuvent être sécants. Dans ce cas, leur intersection est un point.
  - Exemple
    Sur la figure :
    
    $(d)$ est incluse dans $(P)$ ;
    
    $(d')$ est parallèle à $(P)$ ;
    
    $(\Delta)$ coupe $(P)$ en $H$ .
- DPropriétés
  - Propriété
    Intersection de $2$ plans parallèles
    Si $2$ plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
  - Théorème
    Théorème du toit
    Si on a :
    
    $(d)$ et $(d')$ , $2$ droites parallèles ;
    
    un plan $(P)$ contenant $(d)$ ;
    
    un plan $(P)$ contenant $(d')$ ;
    
    les plans $(P)$ et $(P')$ sécants suivant une droite $(D)$ .
    
    Alors, $(D)$ est parallèle à $(d)$ et $(d')$