undefined - Fiche de révision Afterclasse

Section d’un cube par un plan

ABCDEFH

est un cube. On appelle

I

,

J

et

K

les milieux respectifs des arêtes

[EH]

,

[AB]

et

[HG]

.
Construire la trace du plan

(IJK)

sur la face

ABCD

.

0

1

Intersection de la face $EFGH$ par le plan $(IJK)$

Les points $I$ et $K$ appartiennent à la fois à la face $EFGH$ et au plan $(IJK)$ .
Donc l’intersection de ces deux objets est la droite $(IK)$ .

2

Intersection de la face $ABCD$ par le plan $(IJK)$

Le point $J$ appartient à la face $ABCD$ et au plan $(IJK)$ .
Donc leur intersection est une droite $(d)$ passant par $J$ .

3

Caractérisation de la droite $(d)$

Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont parallèles.
Le plan $(IJK)$ coupe $(EFG)$ suivant la droite $(IK)$ .
Le plan $(IJK)$ coupe $(ABC)$ suivant la droite $(d)$ .
Conclusion : $(IK)$ et $(d)$ sont parallèles.

4

Trace du plan $(IJK)$ sur la face $ABCD$

On construit $M$ , sur l’arête $[BC]$ . On admet que c’est son milieu.
Les droites $(JM)$ et $(IK)$ sont parallèles.
Conclusion : la trace du plan $(IJK)$ sur la face $ABCD$ est le segment $[JM]$ .

Section d’un cube par un plan

ABCDEFH

est un cube. On appelle

I

,

J

et

K

les milieux respectifs des arêtes

[EH]

,

[AB]

et

[HG]

.
Montrer que l’intersection du plan

(IJK)

avec la face

ABCD

passe par le milieu

M

de

[BC]

.
On sait que

(IJK)

rencontre la face

ABCD

suivant une droite

(d)

, parallèle à

(IK)

.

0

$(IK)$ parallèle à $(EG)$

Dans le triangle $EGH$ , $I$ milieu de $[EH]$ et $K$ milieu de $[HG]$ .
D’après le théorème des milieux, $(IK)$ parallèle à $(EG)$ .

1

$(EG)$ parallèle à $(AC)$

$EACG$ est un rectangle donc $(AC)$ est parallèle à $(EG)$ .

2

$(AC)$ parallèle à $(d)$

$(d)$ , droite d’intersection des plans $(IJK)$ et $(ABC)$ est parallèle à $(IK)$
Comme $(AC)$ est aussi parallèle à $(IK)$ , par transitivité, $(AC)$ parallèle à $(d)$ .

3

$(d)$ rencontre $[BC]$ en son milieu

Dans le triangle $ABC$ , $(d)$ est la droite parallèle à $(AC)$ passant par le milieu $J$ de $[AB]$ .
Conclusion : d’après le théorème des milieux, $(d)$ coupe $[BC]$ en $M$ , son milieu.

Intersection de plans engendrés par $2$ faces d’une pyramide

SABCD

est une pyramide à base rectangulaire

ABCD

et de sommet

S

.
Caractériser l’intersection des plans

(SAB)

et

(SCD)

.

0

Intersection de $2$ plans

Les plans $(SAB)$ et $(SDC)$ ont un point commun, $S$ .
Donc leur intersection est une droite, $(d)$ , passant par $S$ .

1

Caractérisation de $(d)$

$ABCD$ est un rectangle.
Donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
D’après le Théorème du toit, $(d)$ est la droite parallèle à $(AB)$ et $(CD)$ passant par $S$ .

Calculs de longueurs, aires et volume dans un cube

Dans le cube

ABCDEFGH

de côté

10 \ cm

, on construit l’octaèdre

IJKLMN

en joignant les centres des

6

faces du cube.
Calculer le volume

V

de l’octaèdre.

0

Calcul de $JM$

Vu de dessus, le triangle $AJM$ est isocèle rectangle en $A$ et $AJ = AM = 5 \ cm$ .
D’après le théorème de Pythagore, $JM=5 \sqrt{2} \ cm$ .

1

Aire du carré $JKLM$

L’aire $A$ du carré $JKLM$ est donc $A=(5 \sqrt{2}) ^{2}=50 \ cm^{2}$ .

2

Calcul de la hauteur $h$ de la pyramide $IJKLM$

Soit $T$ le projeté orthogonal de $I$ sur le plan $(JKL)$ .
La hauteur $h = IT$ mesure la moitié de l’arête du cube.
Donc $h = 5 \ cm$ .

3

Calcul du volume de la pyramide $IJKLM$

Soit $V_{1}$ le volume de la pyramide $IJKLM$ .
On a : $V_{1}=\frac{1}{3}\times A \times h$ .
Donc $V_{1}=\frac{250}{3} \ cm^{3}$ .

4

Calcul du volume de l’octaèdre

On en conclut que le volume $V$ de l’octaèdre est le double de $V_{1}$ .
Soit $V=2V_{1}=\frac{500}{3} \ cm^{3}$ .

Section d’un cube par un plan

Intersection de la face EFGHEFGHEFGH par le plan (IJK)(IJK)(IJK)

Intersection de la face ABCDABCDABCD par le plan (IJK)(IJK)(IJK)

Caractérisation de la droite (d)(d)(d)

Trace du plan (IJK)(IJK)(IJK) sur la face ABCDABCDABCD

Section d’un cube par un plan

(IK)(IK)(IK) parallèle à (EG)(EG)(EG)

(EG)(EG)(EG) parallèle à (AC)(AC)(AC)

(AC)(AC)(AC) parallèle à (d)(d)(d)

(d)(d)(d) rencontre [BC][BC][BC] en son milieu

Intersection de plans engendrés par 222 faces d’une pyramide

Intersection de 222 plans

Caractérisation de (d)(d)(d)

Calculs de longueurs, aires et volume dans un cube

Calcul de JMJMJM

Aire du carré JKLMJKLMJKLM

Calcul de la hauteur hhh de la pyramide IJKLMIJKLMIJKLM

Calcul du volume de la pyramide IJKLMIJKLMIJKLM

Calcul du volume de l’octaèdre

Intersection de la face $EFGH$ par le plan $(IJK)$

Intersection de la face $ABCD$ par le plan $(IJK)$

Caractérisation de la droite $(d)$

Trace du plan $(IJK)$ sur la face $ABCD$

$(IK)$ parallèle à $(EG)$

$(EG)$ parallèle à $(AC)$

$(AC)$ parallèle à $(d)$

$(d)$ rencontre $[BC]$ en son milieu

Intersection de plans engendrés par $2$ faces d’une pyramide

Intersection de $2$ plans

Caractérisation de $(d)$

Calcul de $JM$

Aire du carré $JKLM$

Calcul de la hauteur $h$ de la pyramide $IJKLM$

Calcul du volume de la pyramide $IJKLM$