Proposition

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$, $4$ points du plan.

• si $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.
• Réciproquement : si $ABDC$ est un parallélogramme, on a alors :
  • $\vec{AB}=\vec{CD}$ ;
  • $\vec{BA}=\vec{DC}$ ;
  • $\vec{AC}=\vec{BD}$ ;
  • $\vec{CA}=\vec{DB}$.

Démonstration

Étape 1 : 

• $\vec{AB}=\vec{CD}$ signifie qu’il existe une translation du plan qui transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D$.
• Par définition de la translation, on en déduit que les segments $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
• Cette dernière propriété caractérise les parallélogrammes.
• Conclusion : $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati si les points sont alignés.

Étape 2 : Démontrons sa réciproque

• $ABDC$ est un parallélogramme. On a en particulier : $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et les segments $[AB]$ et $[CD]$ sont de même longueur.
• D’après la disposition des sommets, on en déduit que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ possèdent les mêmes caractéristiques (longueurs, sens, direction).
• Conclusion : $\vec{AB}=\vec{CD}$.

Étape 3 :

• On procède comme à l’étape $2$ pour montrer les autres égalités.

Théorème

Soient $\vec{u} \binom{a}{b}$ et $\vec{v}\binom{a'}{b'}$, $2$ vecteurs.
La composée de la translation de vecteur $\vec{u}$, notée $t_{\vec{u}}$, et de la translation de vecteur $\vec{v}$, notée $t_{\vec{v}}$, est la translation de vecteur $\vec{w} \binom{a+a'}{b+b'}$.

Démonstration

Pour tout point $M(x_{M}\; ; \; y_{M})$ du plan $t_{\vec{u}}$ :

Étape 1 : Image de $M$ par $M'$

• On considère $M'(x_{M'} \; ; \; y_{M'})$ son image par la translation $t_{\vec{u}}$.
• On a alors : $\vec{MM'}=\vec{u}$.
• L’égalité des vecteurs implique celle de leurs coordonnées donc $x_{M'}-x_{M}=a$ et $y_{M'}-y_{M}=b$.
• Donc $x_{M'}=a+x_{M}$ et $y_{M'}=b+y_{M}$.
• On en déduit $M'(a+y_{M} \; ; \; b+y_{M})$.

Étape 2 :

On considère $M''(x_{M''} \; ; \; y_{M''})$ l’image de $M'$ par la translation $t_{\vec{v}}$.

• Alors : $\vec{M'M''}=\vec{v}$.
• Comme précédemment, on a : $x_{M''}=a'+x_{M'}$ et $y_{M''}=b'+y_{M'}$.
• Soit : $M''(a'+x_{M'} \; ; \; b'+y_{M'})$.
• Ou encore, en combinant les 2 étapes : $M''(a+a'+x_{M} \; ; \; b+b'+y_{M})$

Étape 3 :

• On déduit du dernier point : $\vec{MM"} \binom{a+a'} {b+b'}$
• Définissons un nouveau vecteur $\vec{w} \binom{a+a'}{b+b'}$
• Conclusion : la composée de la translation de vecteur $\vec{u}$ et de la translation de vecteur $\vec{v}$ est la translation de vecteur $\vec{w} \binom{a+a'}{b+b'}$.