undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

Démonstrations

À savoir refaire

Translation - Définition d’un vecteur

Égalités de vecteurs

Vecteur dans un repère

Propriétés générales

Vecteur dans un repère

- Remarque
  Plan rapporté à un repère $(O; OI; OJ)$ .
- ACoordonnées d’un vecteur
  - Définition
    Coordonnées de $\vec{AB}$
    
    Soient $A(x_{A}\; ; \; y_{A})$ et $B(x_{B}\; ; \; y_{B})$ , $2$ points du plan. Alors, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_{B}-x_{A}\; ;\; y_{B}-y_{A})$ .
    
    On note : $\vec{AB}(x_{B}-x_{A}\; ;\; y_{B}-y_{A})$ ou bien $\vec{AB} \binom{x_{B}-x_{A}}{y_{B}-y_{A}}$ , notation en colonne.
  - Exemple
    Soient $A(3\; ; \;2)$ et $B(-2\; ; \; 4)$ .
    
    Alors $\vec{AB} \binom{-2-3}{4-2}$ .
    
    C’est-à-dire $\vec{AB} \binom{-5}{2}$ .
  - Définition
    Coordonnées de $\vec{u}$ et représentation
    
    Soit $\vec{u}$ , un vecteur.
    
    Les coordonnées $a$ et $b$ de $\vec{u}$ sont les coordonnées du point $M$ tel que $\vec{OM}=\vec{u}$ .
    
    On note : $\vec{u} \binom{a}{b}$ et on donc aussi $M(a;b)$ .
  - Exemple
    $\vec{u} \binom{2}{-3}$
  - Remarque
    On retrouve la première formule en se plaçant dans le cas particulier où le point $A$ est $O$ , l’origine du repère.
  - Propriété
    Égalité de vecteurs et coordonnées
    Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux, si et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
  - Exemple
    Soient $A(5 ; 2)$ , $B(4 ; -1)$ , $C(-1 ; -2)$ et $D(0; 1)$ , $4$ points du plan :
    
    On a $\vec{AB} \binom{4-5}{-1-2}$ , soit $\vec{AB} \binom{-1}{-3}$ ;
    
    $\vec{DC} \binom{-1-0}{-2-1}$ , soit $\vec{DC} \binom{-1}{-3}$ ;
    
    comme les vecteurs ont les mêmes coordonnées, on en déduit que $\vec{AB}=\vec{DC}$ ;
    
    conclusion : $ABCD$ est un parallélogramme.
- BSomme de 2 vecteurs
  - Propriété
    Enchaînement de 2 translations
    L'enchaînement de la translation $t_{\vec{u}}$ et de la translation $t_{\vec{v}}$ est aussi une translation qu’on nommera ici $t$ .
  - Définition
    Composée de 2 translations
    
    Enchaînement se nomme composée en mathématiques.
    
    $t$ est appelée la composée de $t_{\vec{u}}$ et de $t_{\vec{v}}$ .
  - Théorème
    Coordonnées du vecteur de la composée de 2 translations
    
    Soit $\vec{w}$ le vecteur associé à la translation $t$ .
    
    Si $\vec{u} \binom{a}{b}$ et $\vec{v} \binom{a'}{b'}$ , alors $\vec{w} \binom{a+a'}{b+b'}$ .
  - Définition
    Somme de 2 vecteurs
    
    La somme des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\vec{w}$ associé à la composée des translations de vecteur $\vec{u}$ et de vecteur $\vec{v}$ .
    
    On note : $\vec{w} =\vec{u} +\vec{v}$ .
- CRelation de Chasles
  - Propriété
    Relation de Chasles
    Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ du plan, on a $\vec{AC} =\vec{AB} +\vec{BC}$ .
  - Remarque
    Cette propriété est fondamentale car elle permet de décomposer tout vecteur défini par $2$ points comme une somme en introduisant autant de points que l’on veut.
  - Exemple
    Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ du plan, on peut écrire : $\vec{AB} =\vec{AC} +\vec{CB}=\vec{AD} +\vec{DB}=\vec{AC} +\vec{CD}+\vec{DC} +\vec{CB}$ .
- DProduit d’un vecteur par un nombre réel
  - Propriété
    Multiplication de coordonnées de vecteur par un réel
    
    Soit $\vec{u} \binom{a}{b}$ un vecteur et $k$ un réel non nul. Alors le vecteur $\vec{v} \binom{k\times a}{k\times b}$ a :
    
    la même direction que $\vec{u}$ ;
    
    une longueur égale à $\left | {k} \right |\; \times \text{ longueur du vecteur }\vec{u}$ où $\left | {k} \right |$ est égal à $k$ s’il est positif et à $-k$ sinon ;
    
    le même sens que $\vec{u}$ si $k>0$ et un sens opposé à celui de $\vec{u}$ si $k<0$ .
  - Définition
    Multiplication d’un vecteur par un réel, notation
    
    Soit $\vec{u} \binom{a}{b}$ un vecteur et $k$ un réel.
    
    Alors le vecteur $\vec{v} \binom{k\times a}{k\times b}$ est appelé le produit du réel $k$ par $\vec{u}$ et on note $\vec{u}$ .
  - Exemple
    $\vec{v}=2\vec{u}$
  - Exemple
    $\vec{v}=-1,5 \vec{u}$
  - Définition
    Opposé d’un vecteur
    
    Soit $\vec{u}$ un vecteur.
    
    On appelle opposé du vecteur $\vec{u}$ le vecteur $-1 \times\vec{u}$ que l’on note plus simplement $-\vec{u}$ .
  - Propriété
    Opposé du vecteur $\vec{AB}$
    
    Soient $A$ et $B$ , $2$ points du plan. L’opposé du vecteur $\vec{AB}$ est le vecteur $\vec{BA}$ .
    
    On retient : $-\vec{AB}=\vec{BA}$ et $-\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{BA}-\vec{AB}=\vec{0}$ .
  - Remarque
    $k\vec{u}$ a donc les caractéristiques décrites dans la propriété au début du paragraphe.
    
    Si $k=0$ , alors $\vec{v}=\vec{0}$ .
- EColinéarité : parallélisme, alignement
  - Définition
    Vecteurs colinéaires
    
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
    
    S’il existe $k \in$ $\mathbb{R}$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ , on dit que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
  - Remarque
    Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs car pour tout vecteur $\vec{u}$ , on a $\vec{0}=0\times \vec{u}$ .
  - Propriété
    Alignement, parallélisme
    
    Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , $4$ points du plan.
    
    $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe $k \in IR$ tel que $\vec{AC}=k\times \vec{AB}$ ou que les $2$ vecteurs ont la même direction.
    
    $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe $k \in IR$ tel que $\vec{AB}=k\times \vec{CD}$ ou que les $2$ vecteurs ont la même direction.
  - Exemple
    Soient $A(-3\; ; \; 2)$ , $B(1\; ; \; 3)$ , $C(4\; ; \; 2)$ et $D(-4\; ; \; 0)$ :
    
    On a $\vec{AB} \binom{1-(-3)}{3-2}$ soit $\vec{AB} \binom{4}{1}$ et $\vec{CD} \binom{-4-4}{0-2}$ donc $\vec{CD} \binom{-8}{-2}$ .
    
    On en déduit que $\vec{CD} =-2\vec{AB}$ ce qui signifie que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.
    
    Conclusion : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.