undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

Démonstrations

À savoir refaire

Translation - Définition d’un vecteur

Égalités de vecteurs

Vecteur dans un repère

Propriétés générales

Égalités de vecteurs

- ADéfinition de l’égalité de 2 vecteurs
  - Définition
    Égalité de 2 vecteurs
    
    Soit $ABDC$ un parallélogramme. Dans cette figure :
    
    les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ;
    
    les longueurs $AB$ et $CD$ sont égales ;
    
    le sens de déplacement de $A$ vers $B$ est aussi celui de $C$ vers $D$ .
    
    La translation qui transforme $A$ en $B$ peut aussi se définir à partir des points $C$ et $D$ , ce qui revient à dire que la translation de vecteur $\vec{AB}$ est identique à la translation de vecteur $\vec{CD}$ .
    
    Dans ce cas, on dit que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux : $\vec{AB}=\vec{CD}$ .
  - Remarque
    $2$ vecteurs ayant les $3$ mêmes caractéristiques sont égaux.
- BNotation à l’aide d’une seule lettre
  - Propriété
    Notation
    
    Soient $A$ , $A'$ , $B$ , $B'$ , $C$ , $C'$ des points du plan tels que $\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{CC'}$ .
    
    Cela signifie que les points $A'$ , $B'$ et $C$ ’ sont les images respectives des points $A$ , $B$ et $C$ par une même translation définie par un même vecteur.
    
    On nomme celui-ci sans faire référence à aucun point en utilisant une seule lettre.
  - Exemple
    $\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{CC'}=\vec{u}$ .
- CÉgalité de vecteurs et parallélogramme
  - Propriété
    Égalité de vecteurs et parallélogramme
    Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ , $4$ points du plan.
    
    si $\vec{AB}=\vec{CD}$ alors le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.
    
    Réciproquement : si $ABDC$ est un parallélogramme, alors on a alors :
    
    $\vec{AB}=\vec{CD}$ ;
    
    $\vec{BA}=\vec{DC}$ ;
    
    $\vec{AC}=\vec{BD}$ ;
    
    $\vec{CA}=\vec{DB}$ .
  - Exemple
    Cette figure représente le cas où $\vec{AC}=\vec{BD}$ .