Pour tout point C du plan, l’image de C par la translation qui transforme A en B est l’unique point D du plan tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
Remarque
Une translation est une transformation géométrique : il faut regarder la figure de manière dynamique en comprenant que le point D est l’image de C « comme » le point B est l’image de A.
Tout point C du plan possède une image et une seule par la translation qui transforme A en B.
Si A et B sont confondus, alors D existe bien mais est confondu avec C.
Propriété
Translation et parallélogramme
Soit A et B, 2 points du plan.
Pour tout point C du plan, l’image D de C par la translation qui transforme A en B est le point tel que ABDC est un parallélogramme.
Remarque
Il faut bien noter bien l’ordredes points pour nommer le parallélogramme. On cite les points en tournant, dans le sens de son choix en commençant par un sommet (CDBA, BDCA, etc.).
Si les points A, B et C sont alignés, on obtient un parallélogramme que l’on dit aplati.
BVecteurs et notation
Définition
Vecteur
Soient A et B, 2 points du plan.
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteurAB.
On note de manière plus synthétique tAB la translation de vecteur AB.
Remarque
On représente le vecteur AB par une flèche qui part de A et qui arrive à B, ce qui rappelle la translation qui transforme (ou « transporte ») le point A en un autre point, B.
Il ne faut donc pas confondre AB et BA car dans le cas où A et B sont distincts, le déplacement de A vers B n’est pas le même que celui de B vers A.
Définition
Origine, extrémité du vecteur AB
On dit que le vecteur AB a pour origine le point A et pour extrémité le point B.
CCaractéristiques d’un vecteur
Caractéristique
Vecteur
Soit A et B, 2 points distincts du plan.
Le vecteur AB se caractérise par :
sa direction : la droite (AB) ou toute droite parallèle à (AB) ;
son sens : de A vers B ;
sa longueur : la distance AB.
Remarque
Ces caractéristiques indiquent qu’une translation est un déplacement rectiligne (en ligne droite), dans un sens donné, sur une distance donnée.
En mathématiques, on s’intéresse aussi à d’autres types de transformations géométriques comme les rotations ou les agrandissements/rétrécissements.
Définition
Vecteur nul
Si A et B sont 2 points du plan confondus, on note AB=0 qu’on appelle vecteur nul.