CHAPITRE
Formules et Théorèmes
Démonstrations
À savoir refaire
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3
Graphiques
Démonstrations
Distance entre 2 points A et B du plan
Proposition- Dans un repère (O;I;J) orthonormé, on considère 2 points A(xA;yA) et B(xB;yB). Alors, AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Démonstration
- Soit le point C(xB;yA).
- Le triangle ABC est rectangle en C. De plus, AC=∣xC−xA∣=∣xB−xA∣ et CB=∣yB−yC∣=∣yB−yA∣.
- D’après le théorème de Pythagore, AB2=AC2+CB2 soit AB=AC2+CB2.
- Conclusion : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
Équations de droites du plan
Proposition- Dans un repère, toute droite (d) a une équation soit de la forme x=a, soit de la forme y=ax+b.
Démonstration
- Soit (d) une droite du plan.
- Supposons que (d) est parallèle à l’axe des ordonnées :
- elle coupe l’axe des abscisses en un point A ;
- notons a son abscisse ;
- tous les points de (d) ont donc pour abscisse a ;
- conclusion : pour tout M(x;y) ∈(d), x=a.
- Supposons que (d) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées :
- elle coupe celui-ci en un point B d’ordonnées b ;
- notons C le point de (d) d’abscisse 1 et notons yC=p ;
- la droite (d) est donc la droite (BC) ;
- posons la fonction affine f(x)=(p−b)x+b. On a f(1)=p etf(0)=b donc la représentation graphique de f est la droite (BC) ;
- conclusion : (d) : y=(p−b)x+b ou encore y=ax+b en posant a=p−b.
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