Soit f(x)=ax+b une fonction affine définie sur R. Alors, sa représentation graphique est une droite.
Exemple
Soit f(x)=−2x+3. Comme f(0)=3 et f(2)=−1 alors la représentation graphique de la fonction f est la droite (AB) où A(0;3) et B(2;−1).
Propriété
Représentation graphique des fonctions linéaires
Soit f(x)=ax une fonction linéaire définie sur R. Alors, sa représentation graphique est une droite passant par l’origine O de repère.
Exemple
Soit g(x)=23x. Comme g(2)=3 alors la représentation graphique de la fonction g est la droite (OC) où C(2;3).
BÉquations de droites
Propriété
Équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
Soit (d) une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Alors, il existe a et b, deux nombres réels tels que (d) ait pour équation y=ax+b.
Remarque
Cela signifie que si M est un point de (d) d’abscisse x alors son ordonnée est ax+b.
On retient que M∈(d) si et seulement si M(x;ax+b).
Définition
Ordonnée à l’origine
b est appelé ordonnée à l’origine de (d).
Définition
Coefficient directeur
a est appelé coefficient directeur de (d) ou pente.
Définition
Équation réduite d’une droite
Soit (d) une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. L’équation y=ax+b s’appelle l’équation réduite de (d).
Propriété
Détermination graphique des coefficients a et b
Soit (d) une droite d’équation y=ax+b. Alors, sur le graphique :
b est la valeur de l’ordonnée du point d’intersection de (d) avec l’axe des ordonnées ;
a est le rapport des différences des ordonnées sur la différence des abscisses. On note a=ΔxΔy.
Remarque
Cette propriété permet de « lire » sur le graphique les coefficients a et b, c’est-à-dire de trouver l’équation de la droite (d) ou réciproquement, de tracer rapidement une droite connaissant son équation.
Exemple
Soit (d) la droite passant par les 2 points D(−4;3) et E(2;0).
L’ordonnée à l’origine est 1.
Le coefficient directeur est a=xE−xDyE−yD=−21.
(d):y=−21x+1
Exemple
La droite (d′):y=35x−2.
L’ordonnée à l’origine est −2 donc (d′) passe par le point F(0;−2).
Le coefficient directeur est a=35 donc en se déplaçant à partir de F de 5 unités vers le haut puis de 3 unités vers la droite, on trouve un 2e point G(3;3).
Remarque
Lorsque a>0, la droite « monte ».
Lorsque a<0, la droite « descend ».
Propriété
Équation de droite « horizontale »
Soit (d) une droite parallèle à l’axe des abscisses. Alors il existe b réel tel que (d):y=b.
Réciproquement, les droites d’équation y=b, avec b réel fixé, sont des droites parallèles à l’axe des abscisses.
L’axe des abscisses a donc pour équation y=0.
Propriété
Équation de droite verticale
Soit (d) une droite parallèle à l’axe des ordonnées. Alors il existe a réel tel que l’équation de (d) est x=a.
Réciproquement, les droites d’équation x=a, avec a réel fixé, sont des droites parallèles à l’axe des ordonnées.
L’axe des ordonnées a donc pour équation x=0.
CDroites parallèles, points alignés
Propriété
Droites parallèles
Soient (d):y=ax+b et (d′):y=a′x+b′, deux droites. Alors (d) et (d′) sont parallèles si et seulement si a=a′.
Propriété
Points alignés
Soient A(xA;yA), B(xB;yB) et C(xC;yC) trois points distincts. A, B et C sont alignés si et seulement si xC−xByC−yB=xA−xByA−yB.
Remarque
On compare simplement ici les coefficients directeurs de (AB) et (BC).
L’ordre dans lequel on place les points n’a pas d’importance dans cette formule.
xC−xByC−yB=xA−xByA−yB est équivalente à l’égalité xC−xBxA−xB=yC−yByA−yB.
En posant ce rapport égal à k, on en déduit que xA−xB=k(xC−xB) et yA−yB=k(yC−yB), ce qui revient à écrire que BA=kBC.
On a donc exprimé la colinéarité des vecteurs BA et BC, donc, l’alignement des points A, B et C (voir chapitre 9 : Vecteurs)