undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

Démonstrations

À savoir refaire

Configurations du plan

Géométrie plane dans un repère

Droites

Graphiques

Géométrie plane dans un repère

- ARepères, coordonnées
  - Définition
    Repères, coordonnées
    Soit $3$ points $O$ , $I$ et $J$ , non alignés.
    
    Le repère $(O ; I ; J)$ est la donnée des droites $(OI$ ) et $(OJ)$ , graduées et orientées, servant à associé à tout point $M$ du plan, un unique couple $(x ; y)$ de réels appelé ses coordonnées.
    
    On note simplement $M(x ; y)$ .
  - Exemple
    Dans le repère $(O; I; J)$ ci-dessous, $M$ a pour coordonnées $(3 ; 2)$ .
  - Définition
    Nom des coordonnées
    Soit $M(x ; y)$ dans un repère $(O; I; J)$ du plan :
    
    $x$ s’appelle l’abscisse de $M$ et la droite $(OI)$ s’appelle l’axe des abscisses du repère ;
    
    $y$ s’appelle l’ordonnée de $M$ et la droite $(OJ)$ s’appelle l’axe des ordonnées du repère.
  - Remarque
    Différents types de repères
    
    Si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires, on parle de repère orthogonal.
    
    Si de plus, les longueurs $OI$ et $OJ$ sont égales, on qualifiera le repère d’orthonormé.
    
    Dans le cas général, le repère sera dit quelconque.
- BCoordonnées du milieu d’un segment
  - Propriété
    Coordonnées du milieu d’un segment
    
    Dans un repère $(O; I; J)$ , on considère $2$ points $A(x_{A}; \; y_{A})$ et $B(x_{B}; \; y_{B})$ .
    
    Alors, le milieu $I$ du segment [AB] a pour coordonnées : $(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}; \; \frac{y_{A}+y_{B}}{2})$ .
  - Exemple
    Ici, $A(-2 ; -1)$ et $B(6; 2)$ .
    
    Donc $I(\frac{-2+6}{2}; \; \frac{-1+2}{2})$ soit $I(2 \;; \; \frac{1}{2})$ .
  - Remarque
    Ici, le repère est quelconque.
- CDistance de deux points du plan
  - Propriété
    Distance AB
    
    Dans un repère $(O; I; J)$ orthonormé, on considère $2$ points $A(x_{A}; \; y_{A})$ et $B(x_{B}; \; y_{B})$ .
    
    Alors, $AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ .
  - Exemple
    Ici, $A(-2 ; 3)$ et $B(3; -3)$ .
    
    Donc $AB=\sqrt{(3-(-2))^{2}+(-3-3)^{2}}$ soit $AB=\sqrt{61}$ .
  - Remarque
    Ici, le repère doit absolument être orthonormé car l’établissement de la formule s’appuie sur le théorème de Pythagore.