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Démonstrations
À savoir refaire
1
Configurations du plan
2
Géométrie plane dans un repère
3
Droites
Graphiques
À savoir refaire

  • Points alignés ou non ?

    Les points A(−14;14)A(-14 ; 14), B(0,5;5)B(0,5 ; 5) et C(12;−2)C(12; -2) sont-ils alignés ?
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      Construire la figure

      On place les points dans un repère pour évaluer dans quel cas de figure on est : les points semblent portés par une droite oblique.
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      Calcul du coefficient directeur de la droite (AB)(AB)

      • On a : xB≠xAx_{B} \neq x_{A}.
      • Alors le coefficient directeur de la droite (AB)(AB) est a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
      • a=5−140,5−(−14)=−914,5=−1829a=\frac{5-14}{0,5-(-14)}=\frac{-9}{14,5}=-\frac{18}{29}
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      Calcul du coefficient directeur de la droite (AC)(AC)

      • On a : xC≠xAx_{C} \neq x_{A}.
      • Alors le coefficient directeur de la droite (AC)(AC) est a′=yC−yAxC−xAa'=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}
      • a′=−2−1412−(−14)=−1626=−813a'=\frac{-2-14}{12-(-14)}=\frac{-16}{26}=-\frac{8}{13}
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      Conclusion

      • Comme a≠a′a \neq a', on en conclut que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.

  • Détermination de l’équation réduite d’une droite

    Déterminer l’équation réduite de la droite (AC)(AC) où A(−14;14)A(-14 ; 14) et C(12;−2)C(12; -2).
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      Détermination du type d’équation

      • On a xC≠xAx_{C} \neq x_{A}.
      • Donc la droite (AC)(AC) possède une équation de la forme y=ax+by=ax+b.
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      Calcul du coefficient directeur aa

      • Le coefficient directeur de la droite (AC) est a=yC−yAxC−xAa=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}
      • Donc a=−813a=-\frac{8}{13}
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      Calcul de l’ordonnée à l’origine bb

      • On sait maintenant que l’équation de (d)(d) est de la forme y=−813x+by=-\frac{8}{13}x+b.
      • De plus, C ∈\in (d)(d) donc ses coordonnées vérifient l’équation de (d)(d).
      • On en déduit que yC=−813xC+by_{C}=-\frac{8}{13}x_{C}+b soit −2=−813×12+b-2=-\frac{8}{13}\times12+b d’où −2=−9613+b-2=-\frac{96}{13}+b.
      • Alors b=−2+9613=7013b=-2+\frac{96}{13}=\frac{70}{13}
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      Conclusion

      • L’équation réduite de la droite (AC)(AC) est y=−813x+7013y=-\frac{8}{13}x+\frac{70}{13}

  • Coordonnées du point d’intersection de 22 droites

    Soient (d)(d) : y=−23x+4y=-\frac{2}{3}x+4 et (d′)(d') : y=2x−1y=2x-1, deux droites du plan.
    Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection II.
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      Existence du point II

      • Les coefficients directeurs des deux droites a=−23a=-\frac{2}{3} et a′=2a'=2 sont différents.
      • Donc (d)(d) et (d′)(d') ne sont pas parallèles.
      • Elles admettent donc un point d’intersection II.
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      Écriture du système d’équations

      • Les coordonnées de II vérifient simultanément les 22 équations y=−23x+4y=-\frac{2}{3}x+4 et y=2x−1y=2x-1.
      • On écrit :
      <br/>{<br/><br/>y=−23x+4<br/>y=2x−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br />y=-\frac{2}{3}x+4 \\<br />y=2x-1<br />\end{array}<br />\right. <br />

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      Résolution du système

      <br/>{<br/><br/>y=−23x+4<br/>y=2x−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br />y=-\frac{2}{3}x+4 \\<br />y=2x-1<br />\end{array}<br />\right. <br />
      • La 2e équation permet d’exprimer yy en fonction de xx. On écrit alors dans la première équation :
      <br/>{<br/><br/>2x−1=−23x+4<br/>y=2x−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br />2x-1 =-\frac{2}{3}x+4 \\<br />y=2x-1<br />\end{array}<br />\right. <br />
      • On résout la 1re équation d’inconnue xx, tout en gardant la 2e équation :
      <br/>{<br/><br/>2x+23x=1+4<br/>y=2x−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br />2x+\frac{2}{3}x =1+4 \\<br /> y=2x-1<br />\end{array}<br />\right. <br />
      • Après avoir réduit au même dénominateur :
      <br/>{<br/><br/>83x=5<br/>y=2x−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br />\frac{8}{3}x =5 \\<br />y=2x-1<br />\end{array}<br />\right. <br />

      <br/>{<br/><br/>x=158<br/>y=2x−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br />x =\frac{15}{8} \\<br />y=2x-1<br />\end{array}<br />\right. <br />
      • On remplace alors xx par sa valeur dans la 2e équation :
      <br/>{<br/><br/>x=158<br/>y=2×158−1<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br /> x =\frac{15}{8} \\<br />y=2\times \frac{15}{8} -1<br />\end{array}<br />\right. <br />

      <br/>{<br/><br/>x=158<br/>y=114<br/><br/><br/><br />\left\{ <br />\begin{array}{c}<br /> x =\frac{15}{8} \\<br />y=\frac{11}{4}<br />\end{array}<br />\right. <br />
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      Conclusion

      • Le point II a pour coordonnées (158  ;  114)(\frac{15}{8} \; ; \; \frac{11}{4}).

  • Nature d’un triangle

    Dans un repère(O;I;J)(O ; I; J) orthonormé, on considère les points A(2;3)A(2 ; 3), B(−1;−2B(-1 ; -2) et C(7;0)C(7; 0).
    Montrer que ABCABC est isocèle rectangle en AA.
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      Calcul de ABAB

      • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}
      • AB=(−1−2)2+(−2−3)2AB=\sqrt{(-1-2)^{2}+(-2-3)^{2}}
      • AB=(−3)2+(−5)2AB=\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}}
      • AB=9+25AB=\sqrt{9+25}
      • AB=34AB=\sqrt{34}
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      Calcul de ACAC

      • De même AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2AC=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}}
      • AC=(7−2)2+(0−3)2AC=\sqrt{(7-2)^{2}+(0-3)^{2}}
      • AC=52+(−3)2AC=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}
      • AC=25+9AC=\sqrt{25+9}
      • AC=34AC=\sqrt{34}
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      Calcul de BCBC

      • BC=(xC−xB)2+(yC−yB)2BC=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^{2}+(y_{C}-y_{B})^{2}}
      • BC=(7−(−1))2+(0−(−2))2BC=\sqrt{(7-(-1))^{2}+(0-(-2))^{2}}
      • BC=82+22BC=\sqrt{8^{2}+2^{2}}
      • BC=68BC=\sqrt{68}
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      Nature du triangle ABCABC

      • Comme AC=ABAC=AB, on en déduit que ABCABC est isocèle en AA.
      • De plus : BC2=68BC^{2}=68 et AB2+AC2=68AB^{2} + AC^{2}=68.
      • Donc AB2+AC2=BC2AB^{2} + AC^{2}=BC^{2} et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que ABCABC est aussi rectangle en AA.
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