undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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À savoir refaire

Cercle trigonométrique

Cosinus et Sinus d’un nombre réel

Graphiques

Cercle trigonométrique

Remarque
Trigonométrie vient du mot grec Trigone, qui signifie simplement « Triangle ».
Dans tout ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O ; OI ; OJ)$ .
Définition
Cercle Trigonométrique
- Dans le repère $(O ;OI ; OJ)$ orthonormé, on appelle cercle trigonométrique, le cercle $U$ de centre $O$ et de rayon $1$ .
- On décide de parcourir ce cercle dans le sens inverse de celui des aiguilles d’une montre. On dit alors que le plan est orienté dans le sens trigonométrique ou dans le sens direct.
- Cela signifie que tout point $M$ situé sur ce cercle tournera :

AEnroulement de la droite des réels
- Définition
  Enroulement de la droite des réels
  Soit la droite $(d)$ , parallèle à l’axe des ordonnées, passant par $I$ .
  
  Elle est graduée avec la même unité que notre repère orthonormé $(O;OI;OJ)$ , et orientée, de telle sorte qu’elle représente la droite des réels :
  
  les nombres positifs sont au-dessus de l’axe des abscisses ;
  
  les nombres négatifs sont en dessous de l'axe des abscisses.
  
  Ainsi, tous les points de la droite $(d)$ sont associés à un nombre réel et un seul, son ordonnée.
  
  Associons à tout point $P$ de $(d)$ un point $M$ sur le cercle trigonométrique tel que :
  
  $M$ est situé sur le cercle $U$ à la même distance que $P$ du point $I$ .
  
  $M$ a parcouru le cercle $U$ depuis $I$ dans le sens trigonométrique si l'ordonnée $x$ de $P$ est positive.
  
  $M$ a parcouru le cercle $U$ depuis $I$ dans le sens des aiguilles d’une montre si l'ordonnée $x$ de $P$ est négative.
- Exemple
  Ici, le point $P$ a pour abscisse $1$ .
- Exemple
  Ici, le point $P$ a pour abscisse $-2$ .
  
  Si on enroulait la droite $(d)$ sur le cercle trigonométrique $U$ , les points $M$ et $P$ seraient superposés.
- Exemple
  Dans cet exemple, la partie « positive » de la droite des réels été enroulée.
- Définition
  Image d’un réel sur le cercle trigonométrique
  On dit que $M$ est l’image du réel $x$ , abscisse de $P$ .
BPoints remarquables
- Définition
  Premiers points remarquables à connaître
  Le cercle $U$ , de rayon $1$ , a pour périmètre $2\pi$ donc ce réel a pour image le point de départ $I$ . Mais $I$ est aussi l’image de $0$ .
  
  Le point $I'$ , diamétralement opposé à $I$ est l’image de $\pi$ .
  
  Le point $J$ , de coordonnées $(0 ; 1)$ , est l’image de $\frac{\pi}{2}$ .
  
  Le point $J'$ , de coordonnées $(0 ; -1)$ , est l’image de $\frac{3\pi}{2}$ (car $\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$ ).
- Remarque
  Si on parcourt le cercle dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient la figure suivante.
- Remarque
  Si on continue à enrouler la droite des réels sur le cercle $U$ , on se rend compte que l'on repasse par le point $I$ .
  
  De ce fait, les points $I$ , $J$ , $I'$ et $J'$ du cercle sont associés à une infinité de nombres réels.
- Exemple
  Après 4 tours, on obtient :
  
  $\frac{\pi}{2}+8\pi=\frac{17\pi}{2}$ et $\frac{3\pi}{2}+8\pi=\frac{19\pi}{2}$
CLien avec les angles
- Définition
  Autre caractérisation d’un point sur le cercle U
  La position du point $M$ sur le cercle $U$ peut se caractériser d'une autre façon : en s’intéressant à l’angle $\alpha=\hat{IOM}$ .
  
  On convient que :
  
  si $\alpha$ est positif, le point $M$ a été placé en parcourant le cercle $U$ , à partir de $I$ , dans le sens trigonométrique ;
  
  si $\alpha$ est négatif, le point $M$ a été placé dans le sens des aiguilles d'une montre.
- Définition
  Correspondance des angles en degrés et réels remarquables
  
  Angle en $^\circ$ $0$ $90$ $180$ $270$ $360$
  
  Réel associé $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
- Formule
  3 autres points remarquables à connaître
  Quand $\hat{IOM}=45^\circ$ , $M$ est exactement situé au milieu de l’arc de cercle joignant $I$ à $J$ , donc le réel associé à $45^\circ$ est $\frac{\pi}{4}$ (car $M$ ne parcourt que la moitié de la distance $\frac{\pi}{2}$ ).
  
  Quand $\hat{IOM}=60^\circ$ , $M$ est au tiers de l’arc de cercle joignant $I$ à $I'$ , car $60$ est le tiers de $180$ , donc le réel associé à $60^\circ$ est $\frac{\pi}{3}$ (le triangle $IOM$ est équilatéral).
  
  Pour $\hat{IOM}=30^\circ$ , le point $M$ a parcouru la moitié de la distance précédente, ce qui associe cet angle à $\frac{\pi}{6}$ .

DUn mot sur le Radian

Définition

Correspondance des angles en degrés et réels remarquables

Angle en $^\circ$	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$20$	$360$
Réel associé	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Définition
Le radian
Par abus de langage, les réels de la deuxième ligne du tableau désigneront aussi les angles associés et seront exprimés dans une nouvelle unité : le radian (rad).
Propriété
Correspondance degré/radian
- Les radians sont proportionnels aux degrés.
- Si $\alpha$ est la valeur d’un angle en degrés, alors sa valeur correspondante en radians est $x=\alpha\times\frac{\pi}{180}$ .
Exemple
$1 \ rad = \frac{180}{\pi} \approx 57^\circ$ .
Remarque
- Les angles en radians sont toujours exprimés comme des expressions de $\pi$ .
- On ne cherche que très rarement à les convertir en degrés, tout simplement parce que les calculs avec $\pi$ ne tombent jamais justes !

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Remarque

Définition

Cercle Trigonométrique

AEnroulement de la droite des réels

Définition

Enroulement de la droite des réels

Exemple

Exemple

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Définition

Image d’un réel sur le cercle trigonométrique

BPoints remarquables

Définition

Premiers points remarquables à connaître

Remarque

Remarque

Exemple

CLien avec les angles

Définition

Autre caractérisation d’un point sur le cercle U

Définition

Correspondance des angles en degrés et réels remarquables

Formule

3 autres points remarquables à connaître

DUn mot sur le Radian

Définition

Correspondance des angles en degrés et réels remarquables

Définition

Le radian

Propriété

Correspondance degré/radian

Exemple

Remarque