undefined - Fiche de révision Afterclasse

Utiliser une fonction trinôme du second degré pour résoudre des équations du second degré

Soit

f

une fonction définie sur

\ {R}

par

f(x) = x^2 + 2x -8

.

0

Vérifier que $f(x) = (x+1)^{2} - 9$

Pour vérifier cette égalité, tu peux partir de la donnée de l’exercice et utiliser les identités remarquables.
Tu obtiens $f(x) = x^2 + 2x + 1 - 9 = x^2 + 2x - 8$ . Tu as donc vérifié l’égalité.

1

Résoudre algébriquement $f(x) = -5$

Pour résoudre algébriquement une équation, il faut choisir la bonne expression de la fonction $f$ .
Ici tu peux prendre $f(x) = (x+1)^{2} - 9$ .
Tu obtiens $(x+1)^{2} - 9 = - 5$ . Tu as donc l’équation $(x+1)^{2} - 4 = 0$ .
Tu as donc une différence de deux carrés que tu peux factoriser. Tu obtiens alors $(x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = 0$ .
Tu as alors une équation produit $(x - 1)(x + 3) = 0$ . Cette équation admet deux solutions $x = 1$ et $x = -3$ .
Les solutions de cette équation sont donc : $-3$ et $1$ .

2

Résoudre graphiquement $f(x) = - 8$

Pour résoudre graphiquement une équation, il faut tout d’abord construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère adéquat. Sur ce même repère, construire la droite $(d)$ d’équation $y = - 8$ . Puis déterminer s’ils existent, les abscisses des points d’intersection entre la droite et la courbe.
La fonction $f$ étant une fonction du second degré, elle est représentée par une parabole. Tu dois déterminer les coordonnées de son sommet $S$ .
Tu trouves grâce à l’expression $f(x) = (x+1)^{2} - 9$ que $S(-1 ; -9)$ .
De ce fait, tu sais que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ; -1 ]$ et croissante sur $[-1 ; +\infty[$ .
De plus, tu peux factoriser l’expression de $f$ est obtenir $f(x) = (x-2)(x+4)$ . Tu sais, alors que la parabole coupe l’axe des abscisses en $x =-4$ et en $x = 2$ .
À l’aide d’une calculatrice, tu peux construire un tableau de valeurs, pour construire la courbe représentative de $f$ .

3

Construire la parabole

Tu construis alors la parabole et

(d)

dans un repère adéquat.

4

Conclusion

Grâce à cette représentation graphique, tu peux trouver les points d’intersection entre la parabole et $(d)$ , s’ils existent.
Tu peux noter $A$ et $B$ ces deux points d’intersection.
Tu projettes orthogonalement ces deux points sur l’axe des abscisses.
Tu obtiens alors les solutions de l’équation. Ici, tu trouves $x = - 2$ et $x = 0$ .

Résoudre algébriquement une équation quotient

Résoudre algébriquement l’équation

\frac{3}{x+2} = \frac{1}{x - 1}

pour tous les réels

x

tels que

x \neq -2

et

x \neq 1

.

0

Transformer cette égalité en équation quotient

Pour résoudre cette équation, il faut mettre les deux termes dans le même membre sur un domaine ne contenant ni $-2$ , ni $1$ .
Tu peux noter $I$ le domaine tel que $I = ]-\infty ; -2[ \cup ]-2 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$ .
Tu obtiens : $\frac{3}{x + 2} - \frac{1}{x - 1} = 0$ .
Tu mets alors tout sur le même dénominateur. Tu as donc : $\frac{3(x - 1) - 1(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)} = 0$ et de ce fait, tu as $\frac{2x - 5}{(x + 2)(x - 1)} = 0$ après développement et réduction du numérateur.
Cette équation quotient admet une solution sur $I$ .
Cette solution est la racine du numérateur, si elle appartient à $I$ .

1

Résoudre une équation quotient

Le numérateur est égal à $2x - 5$ . Il te faut donc résoudre l’équation du premier degré $2x - 5 = 0$ .
Cette équation admet une unique solution $x = \frac{5}{2}$ .
De plus $\frac{5}{2} \in I$ , donc la solution de cette équation quotient sur $I$ est $x = \frac{5}{2}$ .

Résoudre graphiquement des inéquations

Soit

f

une fonction affine par morceaux définie par :

<br />\left\{ \begin{array}{c}<br />-x & -3 \le x \le 2 \\<br />2x - 6 & 2\le x \le4<br />\end{array} \right.

Résoudre graphiquement les inéquations :
1.

f(x) < 0

2.

f(x) \ge 1

0

Résoudre graphiquement $f(x) < 0$

Pour résoudre graphiquement cette inéquation, il te faut construire la courbe représentative $( C )$ de cette fonction affine par morceaux dans un repère adéquat ainsi que la droite $(d)$ d’équation $y = 0$ .
Tu trouves alors les points d’intersection entre $( C )$ et $(d)$ , s’ils existent.
Il te suffit ensuite de trouver la partie de la courbe $( C )$ située strictement au dessous de $(d)$ pour déterminer l’ensemble solution de cette inéquation. Attention, tu ne dois pas prendre les points de $(d)$ dans la solution, car l’inégalité est stricte.
Tu trouves alors l’intervalle $]0 ; 3[$ .

1

Résoudre graphiquement $f(x) \ge 1$

Pour résoudre graphiquement cette inéquation, il te faut construire la courbe représentative $( C )$ de cette fonction affine par morceaux dans un repère adéquat ainsi que la droite $(d)$ d’équation $y = 1$ .
Tu trouves alors les points d’intersection entre $( C )$ et $(d)$ , s’ils existent.
Il te suffit ensuite de trouver la partie de la courbe $( C )$ située au dessus de $(d)$ pour déterminer l’ensemble solution de cette inéquation.
Tu trouves alors l’intervalle $[-3 ; -1] \cup [ \frac{7}{2} ; 4]$ .

Résoudre algébriquement une inéquation produit

Résoudre algébriquement l’inéquation produit

(x + 3)(-x + 5) 0

.

0

Déterminer les valeurs qui annulent le produit

Tu considères le produit de facteurs $(x + 3)(-x + 5)$ .
Ce produit de facteurs s’annulent pour $x = -3$ et pour $x = 5$ .
Tu peux alors construire le tableau de signes du produit.

1

Construire le tableau de signes de ce produit

2

Trouver l’intervalle solution

Tu trouves l’intervalle solution

]-\infty ; -3] \cup [5 ; +\infty[

.

Résoudre algébriquement une inéquation quotient

Résoudre algébriquement l’inéquation quotient

\frac{3x + 2}{x - 5} \ge 0

.

0

Déterminer les valeurs qui annulent chacun des membres du quotient

Chacun des membres de cette inéquation quotient est un polynôme du premier degré. De ce fait, ils s’annulent une fois chacun.
Tu obtiens $x = \frac{-2}{3}$ et $x = 5$ .

Remarque : attention le réel

5

est la valeur qui annule le dénominateur, donc c’est une valeur interdite du quotient. Tu devras mettre une double barre dans la dernière ligne de ton tableau de signes du quotient, sous le chiffre

5

.

1

Construire le tableau de signes du quotient

2

Trouver l’intervalle solution

Tu trouves l’intervalle solution :

]-\infty ; \frac{-2}{3}] \cup ]5 ; +\infty[

.

Résoudre algébriquement une équation du second degré

Résoudre algébriquement l’équation

(5x + 10)(1 - 6x) - (5x + 10)(3x + 7) = 0

.

0

Factoriser l’équation

Cette équation du second degré se présente sous la forme d’une différence de deux termes dans lesquels, il existe un facteur commun : $(5x + 10)$ .
De ce fait, tu dois factoriser par ce facteur commun. Tu obtiens $(5x + 10)(1 - 6x - 3x - 7) = (5x + 10)(-9x - 6)$ .
Il te reste donc à résoudre l’équation produit $(5x + 10)(-9x - 6) = 0$ .

1

Résoudre une équation produit

Le produit de facteurs $(5x + 10)(-9x - 6)$ est nul si et seulement si l’un des membres est nul.
De ce fait, tu dois résoudre deux équations du premier degré $5x + 10 = 0$ et $-9x - 6 = 0$ .
Les solutions de ces équations sont : $x = - 2$ et $x = \frac{-2}{3}$ .

2

Donner les solutions

Tu en conclus que l’équation

(5x + 10)(1 - 6x) - (5x + 10)(3x + 7) = 0

a pour solution

x = - 2

et

x = \frac{-2}{3}

.

Résoudre algébriquement une inéquation quotient

Résoudre algébriquement l’équation

\frac{2x - 1}{x} = 2 - \frac{3}{2x - 1}

pour tout

x \neq 0

et

x \neq \frac{1}{2}

.

0

Mettre les deux membres de l’égalité sur le même dénominateur

Pour résoudre cette équation, il faut mettre les deux termes dans le même membre, en prenant soin de noter les valeurs interdites, c’est-à-dire les valeurs qui annulent les dénominateurs.
Ces valeurs sont : $x \neq 0$ et $x \neq \frac{1}{2}$ .
Tu peux noter $I$ l’intervalle $]-\infty ; 0 [ \cup ]0 ; \frac{1}{2}[ \cup ]\frac{1}{2} ; +\infty[$ .
Tu as alors : $\frac{2x - 1}{x} - 2 + \frac{3}{2x - 1} = 0$ .
Tu mets tout sur le même dénominateur, tu obtiens : $\frac{(2x - 1)(2x - 1)}{x(2x - 1)} - 2\frac{x(2x - 1)}{x(2x - 1)} + \frac{3x}{x(2x - 1)} = 0$ .
Tu développes exclusivement le numérateur afin d’obtenir : $\frac{4x^{2} -4x +1 -4x^{2} +2x + 3x}{x(2x - 1)} = 0$ .
Tu réduis le numérateur et tu obtiens : $\frac{x + 1}{x(2x - 1)} = 0$ .

1

Résoudre l’équation quotient

Tu peux alors résoudre l’équation quotient $\frac{x + 1}{x(2x - 1)} = 0$ . Pour résoudre cette équation quotient, il te suffit de résoudre $x + 1 = 0$ sur $I$ .
Cette équation a pour solution $x = -1$ .

2

Donner les solutions

Le réel $x = -1$ appartient à l’intervalle $I$ , donc c’est la solution de l’équation $\frac{2x - 1}{x} = 2 - \frac{3}{2x - 1}$ .

Résoudre une inéquation quotient à l’aide d’une fonction homographique

Soit

f

une fonction homographique définie sur

I = \ {R} \backslash \lbrace 5 \rbrace

par

f(x) = \frac{x + 4}{5 - x}

.
1. Résoudre graphiquement l’inéquation

f(x) < 2

2. Vérifier algébriquement les solutions trouvées à la question A)

0

Représenter graphiquement la fonction et la droite sur un même repère

Pour résoudre graphiquement cette inéquation, tu dois tout d’abord tracer la courbe représentative de $f$ sur $I$ , dans un repère adéquat ainsi que la droite $(d)$ d’équation $y = 2$ sur le même repère.

1

Déterminer graphiquement les solutions de cette inéquation

À l’aide de cette représentation graphique, tu peux localiser les points de la courbe représentative de $f$ , située strictement en dessous de la droite $(d)$ .
À partir de là, tu peux projeter ces points sur l’axe des abscisses et ainsi trouver l’intervalle contenant les solutions de cette inéquation.
Tu trouves alors l’intervalle solution $S = ]-\infty ; 2 [ \cup ]5 ; +\infty[$ .

2

Résoudre algébriquement l’inéquation

Pour résoudre algébriquement cette inéquation, tu dois te ramener à une inéquation quotient, en mettant tous les termes dans le même membre.
De ce fait, tu as : $\frac{x + 4}{5 - x} - 2 < 0$ ; $\frac{x + 4 - 2(5 - x)}{5 - x} < 0$ ; $\frac{x + 4 - 10 + 2x}{5 - x} < 0$ ; $\frac{3x - 6}{5 - x} < 0$ .
Désormais, il te faut construire le tableau de signes relatif à ce quotient. Grâce à ce tableau de signes, tu trouves l’intervalle solution de l’inéquation.
Tu obtiens : $S = ]-\infty ; 2 [ \cup ]5 ; +\infty[$ .

3

Conclure

Quelque soit, la méthode, algébrique ou graphique, l’inéquation a pour solution

S =]-\infty ; 2 [ \cup ]5 ; +\infty[

.

Utiliser une fonction trinôme du second degré pour résoudre des équations du second degré

Vérifier que f(x)=(x+1)2−9f(x) = (x+1)^{2} - 9f(x)=(x+1)2−9

Résoudre algébriquement f(x)=−5f(x) = -5f(x)=−5

Résoudre graphiquement f(x)=−8f(x) = - 8f(x)=−8

Construire la parabole

Conclusion

Résoudre algébriquement une équation quotient

Transformer cette égalité en équation quotient

Résoudre une équation quotient

Résoudre graphiquement des inéquations

Résoudre graphiquement f(x)<0f(x) < 0f(x)<0

Résoudre graphiquement f(x)≥1f(x) \ge 1f(x)≥1

Résoudre algébriquement une inéquation produit

Déterminer les valeurs qui annulent le produit

Construire le tableau de signes de ce produit

Trouver l’intervalle solution

Résoudre algébriquement une inéquation quotient

Déterminer les valeurs qui annulent chacun des membres du quotient

Construire le tableau de signes du quotient

Trouver l’intervalle solution

Résoudre algébriquement une équation du second degré

Factoriser l’équation

Résoudre une équation produit

Donner les solutions

Résoudre algébriquement une inéquation quotient

Mettre les deux membres de l’égalité sur le même dénominateur

Résoudre l’équation quotient

Donner les solutions

Résoudre une inéquation quotient à l’aide d’une fonction homographique

Représenter graphiquement la fonction et la droite sur un même repère

Déterminer graphiquement les solutions de cette inéquation

Résoudre algébriquement l’inéquation

Conclure

Vérifier que $f(x) = (x+1)^{2} - 9$

Résoudre algébriquement $f(x) = -5$

Résoudre graphiquement $f(x) = - 8$

Résoudre graphiquement $f(x) < 0$

Résoudre graphiquement $f(x) \ge 1$