Sens de variation d’une fonction linéaire ou affine
Proposition
Le sens de variation d’une fonction linéaire ou affine dépend du signe de a.
Démonstration
On considère f(x)=ax+b, une fonction affine.
On prend deux réels distincts tels que x1<x2.
On a f(x1)−f(x2)=ax1+b−ax2−b.
De ce fait, f(x1)−f(x2)=ax1−ax2=a(x1−x2).
On sait que x1<x2, donc x1−x2<0.
Or si a est positif a(x1−x2)<0 alors f(x1)−f(x2)<0 donc la fonction f conserve le sens, elle est donc croissante pour tout x réel.
Réciproquement, si a<0, alors a(x1−x2)>0 alors f(x1)−f(x2)>0 donc la fonction f ne conserve pas le sens. Elle est donc décroissante pour tout x réel.
De ce fait, le sens de variation de f dépend du signe de a.
Sens de variation d’une fonction carré
Proposition
Le sens de variation d’une fonction carré dépend du signe de a.
Démonstration
On considère f(x)=ax2, une fonction carré et a un réel strictement positif.
On sait que f(x1)−f(x2)=ax12−ax22.
On a alors f(x1)−f(x2)=a[x12−x22].
De ce fait, f(x1)−f(x2)=a(x1−x2)(x1+x2).
On prend deux réels distincts tels que x1<x2.
On sait que x1<x2 , donc x1−x2<0.
Or, si a est positif a(x1−x2)<0 alors le signe de f(x1)−f(x2) dépend du signe de (x1+x2).
On suppose que x1 et x2 appartiennent à ]−∞;0] alors x1+x2<0 et de ce fait f(x1)−f(x2)>0.
On en déduit alors que f est décroissante sur ]−∞;0].
On suppose que x1 et x2 appartiennent à [0;+∞] alors x1+x2>0 et de ce fait f(x1)−f(x2)<0.
On en déduit alors que f est croissante sur [0;+∞].
Réciproquement
Si a<0, alors la fonction f est croissante sur ]−∞;0] et décroissante sur [0;+∞].
De ce fait, le sens de variation de f dépend du signe de a.
Sens de variation d’une fonction inverse
Proposition
Le sens de variation d’une fonction inverse dépend du signe de a.
Démonstration
On considère f(x)=xa, une fonction inverse définie pour tout réel x non nul et a un réel positif.
On prend deux réels distincts tels que x1<x2.
On a f(x1)−f(x2)=x1a−x2a.
De ce fait, f(x1)−f(x2)=x1x2a(x2−x1).
On sait que x1<x2 , donc x2−x1>0.
De ce fait, f(x1)−f(x2)>0 sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.
Or, comme la fonction f ne conserve pas le sens, elle est décroissante pour tout x appartenant à ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.
Réciproquement
Si a<0, f(x1)−f(x2)<0, alors f est croissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.
De ce fait, le sens de variation de f dépend du signe de a.