undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

Fiches de cours

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Démonstrations

À savoir refaire

Fonctions linéaires et fonctions affines

Fonctions polynômes du second degré

Fonctions inverses

Fonctions homographiques

4

Fonctions homographiques

Définition
Fonction homographique
- Soit $a$ , $b$ , $c$ et $d$ , quatre réels tel que $c \neq 0$ et tels que $a\times d \neq b\times c$ .
- La fonction définie sur $]- \infty ; \frac{-d}{c} [ \cup ]\frac{-d}{c} ; +\infty [$ par $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ est appelée fonction homographique.
Exemple
La fonction $f(x) = \frac{2x + 1 }{3x - 7}$ est une fonction homographique.

ADomaine de définition
- Propriété
  Ensemble de définitions d’une fonction homographique
  Soit $f$ une fonction homographique telle que $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ avec $c \neq 0$ et $a\times d \neq b\times c$ .
  
  Le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ privé de la valeur qui annule le dénominateur.
- Exemple
  La fonction homographique $f(x) = \frac{5x + 2}{4x - 1}$ est définie pour tout $x$ réel, sauf pour $x = \frac{1}{4}$ .
- Remarque
  Toute fonction homographique $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ s’écrit sur son domaine de définition sous la forme $f(x) = \alpha + \frac{\beta}{cx + d}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels déterminés par identification.
- Exemple
  La fonction homographique $f(x) = \frac{3x + 2 }{x + 1}$ est telle que $f(x) = 3 +\frac{-1}{x + 1}$ .

BVariations

Propriété

Sens de variation d’une fonction homographique

La fonction homographique $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ est telle que $f(x) = \alpha + \frac{\beta}{cx + d}$ .
Les variations de cette fonction dépendent du signe de $\frac{\beta}{c}$ , sur son domaine de définition.

$\frac{\beta}{c} < 0$	$\frac{\beta}{c} > 0$
La fonction $f$ est croissante sur son domaine de définition.	La fonction $f$ est décroissante sur son domaine de définition.

Exemple
- La fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x + 7}{x - 3}$ est telle que $f(x) = 2 + \frac{13}{x - 3}$ avec $\alpha = 2$ ; $\beta = 13$ et $c = 1$ .
- De ce fait, $\frac{\beta}{c} = \frac{13}{1} = 13 > 0$ , donc la fonction $f$ est décroissante sur son domaine de définition.

CReprésentation graphique et centre de symétrie
- Propriété
  Représentation graphique
  Soit $f$ une fonction homographique telle que $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ avec $c \neq 0$ et $a\times d \neq b\times c$ .
  
  La courbe représentative de cette fonction est une hyperbole.
- Propriété
  Centre de symétrie de la représentation graphique
  Soit $f$ une fonction homographique telle que $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ avec $c \neq 0$ et $a\times d \neq b\times c$ . La courbe représentative de cette fonction admet un centre de symétrie.
  
  De plus, $f(x) = \alpha + \frac{\beta}{cx + d}$ de ce fait le centre de symétrie a pour coordonnées $(\frac{-d}{c} ; \alpha)$ .

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