Trouver l’expression d’une fonction affine à partir de la donnée de deux points
Soit f une fonction affine telle que f(3)=−1 et f(−2)=1. Déterminer l’expression de f.
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Déterminer les coefficients de f
Tu sais que f(x)=ax+b est l’expression d’une fonction affine.
Tu dois définir a et b. Pour cela, on détermine a=△x△y :
on a a=−2−31−(−1) ;
de ce fait, a=−52.
Tu peux déjà écrire f(x)=5−2x+b.
Pour calculer b, il faut remplacer x par une des valeurs données et résoudre une équation du premier degré.
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Déterminer b
Tu choisis f(3)=−1 donc 5−2×3+b=−1.
Tu es amené à résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
De ce fait, tu as b=−1+56=51.
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Conclure
La fonction affine f, a pour équation, pour tout x réel : f(x)=5−2x+51.
Donner le sens de variation d’une fonction affine et construire son tableau de signes sur R
Soit f(x)=−3x+8. Déterminer le sens de variation de f et son tableau de signes.
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Déterminer le signe de a
Dans l’expression de la fonction f, le nombre a est égal à : −3.
De ce fait, a est négatif donc la fonction f est décroissante sur son domaine de définition, c’est-à-dire sur R.
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Déterminer la solution de l’équation f(x)=0 sur R
Résoudre l’équation f(x)=0, revient à résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
Tu dois résoudre alors : −3x+8=0 ; −3x=−8 ; x=38.
Tu en déduis que l’unique solution de cette équation est : x=38.
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Construire le tableau de signe de f sur R
Utiliser les variations d’une fonction carré
En utilisant les variations de la fonction f(x)=−x2+5 sur R, déterminer un encadrement de f sur [2;6].
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Déterminer les coefficients de la fonction carré
Dans l’expression de f(x)=−x2+5 de la forme f(x)=ax2+bx+c, nous avons : a=−1 ; b=0 et c=5.
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Déterminer les coordonnées du point S, sommet de la parabole représentative de la fonction f
Le sommet S de la parabole a pour coordonnées (x0;f(x0)) où x0=2a−b.
Tu obtiens ici x0=−20. De ce fait, x0=0.
Tu en déduis que f(x0)=f(0)=−02+5=5.
Tu as donc un extremum égal à 5 obtenu en 0.
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Déterminer les variations de la fonction f sur R
La fonction f ayant un coefficient a=−1, négatif, tu en déduis que la fonction f est croissante sur ]−∞;0] et décroissante sur [0;+∞[.
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Déterminer le tableau de variations de f sur R
Grâce aux variations de f sur R, tu en déduis le tableau de variations de f sur R.
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Déterminer les variations de f sur [2;6]
En utilisant le tableau de variations de f sur R, tu remarques que la fonction f est décroissante sur [2;6], de ce fait pour tout x∈[2;6], tu as f(6)≤f(x)≤f(2).
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Déterminer les images de 2 et de 6 par f
Tu as f(2)=−22+5=−4+5=1 et f(6)=−62+5=−36+5=−31.
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En déduire l’encadrement de f sur [2;6]
En conclusion, tu as : −31≤f(x)≤1.
Choisir l’expression la mieux adaptée d’une même fonction pour traiter un exercice
Soit f une fonction polynôme du second degré. On donne : f(n)=⎩⎨⎧3x2+12x−153(x−1)(x+5)3(x+2)2−27
Après avoir vérifié que les différentes formes proposées sont égales sur R, utilise la forme adéquate pour répondre aux questions suivantes :
Déterminer le tableau de signes de f(x) sur R ; Dresser le tableau de variations de f sur R ; Déterminer les antécédents de −15 pour f ; Déterminer les antécédents de −27 pour f ; Le réel −30 a-t-il des antécédents ?
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Vérifier que les trois formes sont égales sur R
Développer pour tout x, élément de R l’expression f(x)=3(x−1)(x+5) :
3(x−1)(x+5)=3(x2+5x−x−5)=3(x2+4x−5)=3x2+12x−15 ;
donc tu as vérifié que 3x2+12x−15=3(x−1)(x+5).
Développer pour tout x, élément de R l’expression f(x)=3(x+2)2−27 :