undefined - Fiche de révision Afterclasse

Calculer une image à partir de l’expression d’une fonction

Soit

f(x) = x^{2} + 5x - 7

.
Déterminer par le calcul

f(3)

et l’image de

6

par

f

.

0

Calculer $f(3)$

Je remplace $x$ par $3$ dans l’expression de $f$ .
J’obtiens :

$f(3) = 3^{2} + 5\times 3 - 7$
$f(3) = 9 + 15 - 7$
$f(3) = 17$

J’en déduis que : $f(3) = 17$ .

1

Calculer l’image de $6$ par $f$

Je remplace $x$ par $6$ dans l’expression de $f$ .
J’obtiens :

$f(6) = 6^{2} + 5\times 6 -7$
$f(6) = 36 + 30 - 7$
$f(6) = 59$

J’en déduis que l’image de $6$ par $f$ est $59$ .

Déterminer une image à partir d’un algorithme de calcul

Calculer l’image de

(-2)

par la fonction

f

déterminée par l’algorithme de calcul suivant :
choisir un nombre

x

;
l’élever au carré ;
retrancher

5

fois le nombre de départ ;
donner le résultat

f(x)

.

0

Déterminer l’expression algébrique liée à l’algorithme

Je construis le schéma relatif à l’algorithme en traduisant chaque phrase par une opération :

$x\rightarrow x^{2} \rightarrow x^{2} - 5x$ ;
j’obtiens $f(x) = x^{2} - 5x$ .

1

Calculer l’image de $(-2)$ par $f$

Je remplace $x$ par $(-2)$ dans l’expression algébrique de $f$ .
J’obtiens :

$f(-2) = (-2)^{2} - 5(-2)$
$f(-2) = 4 + 10$
$f(-2) = 14$

J’en déduis que l’image de $(-2)$ par $f$ est $14$ .
Je peux écrire aussi $f(-2) = 14$ .

Déterminer une image à partir de la représentation graphique d’une fonction

Déterminer l’image de

5

par la fonction

f

à l’aide de la représentation graphique

C

de

f

sur

[-2 : 7]

.

0

Observer le graphique

1

Vérifier que le réel $5$ appartient au domaine de définition de $f$

Le domaine de définition $D$ de $f$ est $[-2 ; 7]$ .
De ce fait, $-2 \le 5 \le 7$ donc $5\in D$
Je peux donc chercher l’image de $5$ .

2

Trouver le point d’intersection entre $C$ et la droite d’équation $x =5$ dans un repère du plan

Sur le repère du plan dans lequel est représenté

C

, je construis la droite

(d)

parallèle à l’axe des abscisses, passant par le point de coordonnées

(5 ; 0)

.

Je recherche le point d’intersection entre $(d)$ et $C$ .
Je note par exemple $M$ ce point s’il existe.
Je projette ce point $M$ sur l’axe des ordonnées.
Je lis alors la valeur $y$ , obtenue par cette projection : $y = 1$ .

3

Conclure

L’image du réel

5

par la fonction

f

est égale à

1

, on a donc

f(5) = 1

.

Déterminer une image à partir d’un tableau de valeurs

À l’aide du tableau de valeurs fourni, donner l’image par la fonction

f

des nombres

(-3)

et

7

sur

D = [-4 ; 10]

.

0

Observer le tableau de valeurs

1

Vérifier que les réels $(-3)$ et $7$ appartiennent à $D$

Je sais que $D = [-4 ; 10]$ .
De ce fait, j’ai : $-4 \le -3 \le 7 \le 10$ .
Donc $(-3)$ et $7$ appartiennent à $D$ .

2

Lecture de l’image de $(-3)$ et de $7$ dans le tableau de valeurs

J’observe la colonne dans laquelle l’abscisse est $(-3)$ , je lis alors l’image associée : $0$ .
Je peux écrire $f(-3) = 0$ .
J’effectue le même raisonnement avec le nombre $7$ et j’obtiens $f(7) = 2$ .

Déterminer un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction

Soit

f(x) = 5x + 8

, une fonction définie sur

\mathbb{R}

.
Déterminer l’antécédent de

3

pour

f

.

Je sais que pour déterminer un antécédent s’il existe, il faut déterminer le réel

x

appartenant au domaine de définition

D

de

f

tel que

f(x) = 3

.

0

Résoudre l’équation $f(x) = 3$

Je pose l’équation du premier degré : $5x + 8 = 3$ .
Je résous cette équation :

$5x = 3 - 8$ ;
$5x = -5$ ;
$x = -\frac{5}{5}$ ;
donc $x = - 1$ .

1

Conclure

L’antécédent de $3$ pour $f$ est $(-1)$ .
De plus, je vérifie bien que $(-1)$ appartient à l’ensemble de définition de $f$ .

Déterminer des antécédents à partir de la représentation graphique d’une fonction

Soit

f(x) = x^{2} +4x - 12

, une fonction définie sur

\mathbb{R}

.
Déterminer graphiquement les antécédents de

9

pour

f

.

Notons

C

, la courbe représentative de

f

dans un repère du plan.

0

Observer le graphique

1

Trouver les points d’intersection entre $C$ et la droite d’équation $y = 9$

Je sais que pour déterminer des antécédents s’ils existent, il faut déterminer les réels $x$ appartenant au domaine de définition $D$ de $f$ tel que $f(x) = 9$ .
C’est pourquoi, sur le repère du plan dans lequel est représenté $C$ , je construis la droite $(d)$ parallèle à l’axe des ordonnées, passant par le point de coordonnées $(0 ; 9)$ .
Je recherche les points d’intersection entre $(d)$ et $C$ .
Je note par exemple $M$ et $N$ ces points s’ils existent.
Je projette ces points $M$ et $N$ sur l’axe des abscisses.
Je lis alors les valeurs $x$ , obtenue par cette projection : $x = -7$ et $x = 3$ .

2

Conclure

Le réel $9$ admet deux antécédents $(-7)$ et $(3)$ .
On peut donc noter : $f(-7) = 9$ et $f(3) = 9$ .

Déterminer des antécédents à partir d’un tableau de valeurs

À l’aide du tableau de valeurs fourni, donner les antécédents de

0

pour la fonction

f

et l’antécédent de

1

pour

f

sur

D = [-4 ; 10]

.

0

Observer le tableau de valeurs

1

Existence des images $0$ et $1$ dans le tableau de valeurs

Je regarde la deuxième ligne du tableau de valeurs.
J’observe que le réel $0$ apparaît deux fois, donc j’en déduis que $0$ a deux antécédents sur $D$ .
De plus, le réel $1$ apparaît une fois, donc j’en déduis que $1$ a un seul antécédent sur $D$ .

2

Lecture des antécédents dans le tableau

À l’aide du tableau, je peux donner $f(-3) = f(0) = 0$ , donc $-3$ et $0$ sont des antécédents de pour $f$ sur $D$ .
De même, je trouve $f(5) = 1$ , donc $5$ est un antécédent de $1$ sur $D$ .

Construction d’un tableau de variations, à partir de la donnée de la courbe représentative d’une fonction $f$ dans un repère du plan

Construire le tableau de variations d’une fonction

f

, à partir de sa courbe représentative.

0

Observer la courbe

1

Déterminer les bornes du domaine de définition $D$

À l’aide de la courbe, je lis la plus petite abscisse qui a une image et de même, je lis la plus grande abscisse qui a une image. Ces deux valeurs me donnent les bornes de $D$ .
J’obtiens $D = [-5 ; 4]$ .

2

Déterminer les coordonnées des extremum de la courbe sur $D$

J’observe sur la courbe que $f(-5) = -1$ .
De plus, la courbe admet un minimum en $-3$ égal à $-2$ et un maximum en $0$ égal à $4$ .
Pour finir je note que $f(4) = 0$ .

3

Construire le tableau de variations à l’aide des variations de la courbe sur $D$

La fonction $f$ est décroissante sur $[-5 ; -3]$ et sur $[0 ;4]$ .
La fonction $f$ est croissante sur $[-3 ; 0]$ .
J’en déduis donc le tableau de variations de $f$ sur $D$ .

Calculer une image à partir de l’expression d’une fonction

Calculer f(3)f(3)f(3)

Calculer l’image de 666 par fff

Déterminer une image à partir d’un algorithme de calcul

Déterminer l’expression algébrique liée à l’algorithme

Calculer l’image de (−2)(-2)(−2) par fff

Déterminer une image à partir de la représentation graphique d’une fonction

Observer le graphique

Vérifier que le réel 555 appartient au domaine de définition de fff

Trouver le point d’intersection entre CCC et la droite d’équation x=5x =5x=5 dans un repère du plan

Conclure

Déterminer une image à partir d’un tableau de valeurs

Observer le tableau de valeurs

Vérifier que les réels (−3)(-3)(−3) et 777 appartiennent à DDD

Lecture de l’image de (−3)(-3)(−3) et de 777 dans le tableau de valeurs

Déterminer un antécédent à partir de l’expression algébrique d’une fonction

Résoudre l’équation f(x)=3f(x) = 3f(x)=3

Conclure

Déterminer des antécédents à partir de la représentation graphique d’une fonction

Observer le graphique

Trouver les points d’intersection entre CCC et la droite d’équation y=9y = 9y=9

Conclure

Déterminer des antécédents à partir d’un tableau de valeurs

Observer le tableau de valeurs

Existence des images 000 et 111 dans le tableau de valeurs

Lecture des antécédents dans le tableau

Construction d’un tableau de variations, à partir de la donnée de la courbe représentative d’une fonction fff dans un repère du plan

Observer la courbe

Déterminer les bornes du domaine de définition DDD

Déterminer les coordonnées des extremum de la courbe sur DDD

Construire le tableau de variations à l’aide des variations de la courbe sur DDD

Calculer $f(3)$

Calculer l’image de $6$ par $f$

Calculer l’image de $(-2)$ par $f$

Vérifier que le réel $5$ appartient au domaine de définition de $f$

Trouver le point d’intersection entre $C$ et la droite d’équation $x =5$ dans un repère du plan

Vérifier que les réels $(-3)$ et $7$ appartiennent à $D$

Lecture de l’image de $(-3)$ et de $7$ dans le tableau de valeurs

Résoudre l’équation $f(x) = 3$

Trouver les points d’intersection entre $C$ et la droite d’équation $y = 9$

Existence des images $0$ et $1$ dans le tableau de valeurs

Construction d’un tableau de variations, à partir de la donnée de la courbe représentative d’une fonction $f$ dans un repère du plan

Déterminer les bornes du domaine de définition $D$

Déterminer les coordonnées des extremum de la courbe sur $D$

Construire le tableau de variations à l’aide des variations de la courbe sur $D$