Proposition

• Toute droite du plan parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le point $A(a ; 0)$ dans un repère $(O ; I ; J)$ du plan a pour équation réduite $x = a$.

Démonstration

Étape 1 : Poser le principe de la démonstration  

• Soit $(O ; I ; J)$ un repère du plan.
• Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan appartenant à la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par $A(a ; 0)$.
• Ces deux points ont la même abscisse $a$.
• Soit $C(x ; y)$, un point de la droite $(AB)$.

Étape 2 :  Utiliser la colinéarité de deux vecteurs du plan

• Les trois points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à la même droite donc les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\rightarrow}{AC}$ sont colinéaires.
• De ce fait, il existe un réel $k$ non nul tel que $\stackrel{\rightarrow}{AC}= k$ $\stackrel{\rightarrow}{AB}$ .
• On a $\stackrel{\rightarrow}{AC} (x - a ; y - 0)$ et $\stackrel{\rightarrow}{AB} (a - a ; y_{B} - 0)$.
• On en déduit d’après le critère de colinéarité de deux vecteurs que :
• $(x - a)(y_{B} - 0) - (y - 0)(a - a) = 0$ ;
• donc $(x - a)(y_{B}) - (y)(0) = 0$ ;
• de ce fait $(x - a)(y_{B}) = 0$.

• Ce produit de facteurs est nul si et seulement si $(x - a)= 0$ ou $y_{B}= 0$, or $A$ et $B$ sont deux points distincts, donc $y_{B} \neq 0$.

Étape 3 : Conclure la démonstration
 

• En conclusion, l’équation réduite de la droite $(AB)$ parallèle à l’axe des ordonnées est : $x = a$.

Proposition

• Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées dans un repère $(O ; I ; J)$ du plan a pour équation réduite $y = mx = p$ où $m$ et $p$ sont des réels.

Démonstration

Étape 1 : Poser le principe de la démonstration  

• Soit $(O ; I ; J)$ un repère du plan.
• Soit $A(x_{A} ; y_{A})$ et $B(x_{B} ; y_{B})$ deux points distincts du plan appartenant à une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
• Soit $C(x ; y)$, un point de la droite $(AB)$.

Étape 2 : Utiliser la colinéarité de deux vecteurs

• Les trois points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à la même droite donc les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\rightarrow}{AC}$ sont colinéaires.
• De ce fait, il existe un réel $k$ non nul tel que $\stackrel{\rightarrow}{AC} = k \stackrel{\rightarrow}{AB}$.
• On a $(x - x_{A} ; y - y_{A})$ et $(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A})$.
• On en déduit d’après le critère de colinéarité de deux vecteurs que :
• $(x - x_{A})(y_{B} - y_{A}) - (y - y_{A})(x_{B} - x_{A}) = 0$.
• donc on obtient en utilisant la double distributivité,  $x(y_{B} - y_{A}) - y(x_{B} - x_{A}) = x_{A}(y_{B} - y_{A}) - y_{A}(x_{B} - x_{A})$.

• De plus, comme $A$ et $B$ sont deux points distincts, on a : $x_{A} \neq x_{B}$.
• De ce fait, on peut diviser chacun des membres de l’équation par $(x_{B} - x_{A})$ et obtenir : $x(\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}) - y = \frac{d}{x_{B} - x_{A}}$ où $d = x_{A}(y_{B} - y_{A}) - y_{B}(x_{B} - x_{A})$.
• On pose alors $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ et $p = \frac{-d}{x_{B} - x_{A}}$, afin d’obtenir l’équation réduite $y = mx + p$.

Étape 3 : Conclure la démonstration
 

• En conclusion, l’équation de la droite $(AB)$ non parallèle à l’axe des ordonnées est : $y = mx + p$.