Tracer une droite à partir de son équation dans un repère (O;I;J) du plan
Soit (O;I;J) un repère du plan. Tracer dans ce repère la droite (d) d’équation x=−4.
0
0
Déterminer les coordonnées d’un point A de (d)
La droite (d) est parallèle à l’axe des ordonnées, donc le point A a pour abscisse xA, telle que xA=−4.
Je choisis alors l’ordonnée du point A au hasard.
1
1
Placer le point dans le repère
Je place le point A dans le repère du plan.
2
2
Tracer la droite (d)
Je trace la droite (d) parallèle à l’axe des ordonnées, passant par A.
Tracer une droite à partir de son équation dans un repère (O;I;J) du plan
Soit (O;I;J) un repère du plan. Tracer dans ce repère la droite (d) d’équation y=3x−1.
0
0
Déterminer les coordonnées de deux points distincts A et B de (d)
Les points A et B appartiennent à la droite (d) donc leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite.
Je construis un tableau de valeurs, dans lequel, je choisis deux valeurs de x au hasard et dans lequel je calcule les images correspondantes.
1
1
Placer les points dans le repère
Je place les points A et B dans le repère (O;I;J).
2
2
Tracer la droite (d)
Je trace la droite (AB) représentative de la droite (d).
Tracer une droite parallèle à une droite donnée, passant par un point donné
Soit (O;I;J) un repère du plan. Tracer dans ce repère la droite (d) parallèle à la droite (d′) d’équation réduite y=2x+5 passant par le point A(1;2).
0
0
Vérifier que A n’appartient pas à (d′)
Si le point A appartient à la droite (d′) alors les coordonnées de A vérifient l’équation de (d′).
De ce fait, j’effectue le calcul y=2×1+5=27
Or 7=2 donc le point A n’appartient pas à (d′).
1
1
Placer le point A dans le repère
Je place le point A dans le repère du plan.
2
2
Déterminer le coefficient directeur de (d′)
Dans l’expression y=2x+5, le coefficient directeur est égal à m=2.
3
3
Déterminer graphiquement un point B de (d) à l’aide du coefficient directeur m
J’utilise la propriété du cours tel que m=△x△y=2.
De ce fait, je détermine un rapport égal à 2. Je prends △x△y=12
J’en déduis que je déplace, l’abscisse du point A d’une unité et l’ordonnée du point A de deux unités.
J’obtiens le point B(2;4).
4
4
Placer le point B
Je place le point B dans le même repère du plan.
5
5
Tracer la droite (d′)
Je trace la droite (d′) en prenant deux points distincts C et D.
Pour trouver les coordonnées de C et de D, je fais un tableau de valeurs.
6
6
Placer les points C et D
Je place C et D afin de tracer la droite (d′).
7
7
Tracer la droite (d)
Je trace la droite (AB) et je vérifie qu’elle est parallèle à (d′).
Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux points
Soit (O;I;J) un repère du plan. Soit A(1;4) et B(2;9) deux points du plan. Déterminer l’équation réduite de la droite (AB).
0
0
Calculer le coefficient directeur de la droite (AB)
J’utilise la propriété m=△x△y
De ce fait, j’obtiens m=xB−xAyB−yA=2−19−4=15=5.
1
1
Calculer l’ordonnée à l’origine de la droite (AB)
La droite (AB) a pour équation y=mx+p.
Je sais que m=5 donc j’obtiens y=5x+p.
Le point A ainsi que le point B appartiennent à la droite (AB). Les coordonnées de A et de B vérifient l’équation.
J’en déduis en prenant le point A que : 4=5×1+p et donc p=−1.
2
2
Déterminer l’équation de la droite (AB)
Grâce aux calculs précédents, j’ai déterminé m et p, donc j’en déduis l’équation réduite de la droite (AB):y=5x−1.
Déterminer l’équation réduite d’une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point donné
Soit (O;I;J) un repère du plan. Soit A(−3;5) un point et (d) une droite d’équation réduite y=6x−7. Déterminer l’équation de la droite (d′) parallèle à (d) passant par A.
0
0
Déterminer le coefficient directeur de (d′)
Les droites (d) et (d′) sont parallèles donc elles ont le même coefficient directeur, m=6.
Je peux écrire (d′) : y=6x+p.
1
1
Déterminer l’ordonnée à l’origine
Le point A appartient à la droite (d′) donc les coordonnées de A vérifient l’équation y=6x+p.
J’en déduis 5=6×(−3)+p.
J’ai 5+18=23=p.
2
2
Conclure
La droite (d′) a pour équation réduite : y=6x+23.
Montrer que trois points du plan sont alignés
Soit (O;I;J) un repère du plan. Soit les points A(−2;5) ; B(3;2) et C(34;3). Ces trois points sont-ils alignés ?
0
0
Déterminer les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC)
Je détermine m(AB)=3+22−5=5−3 et m(AC)=34−33−2=3−51=5−3
Ces deux coefficients directeurs sont égaux.
1
1
Conclure
Les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles.
Mais ces deux droites ont un point commun, A, de ce fait, ces deux droites sont confondues.
Les points A, B et C sont donc alignés.
Montrer que deux droites du plan sont parallèles
Soit (O;I;J) un repère du plan. Soit les points A(0;2) ; B(4;8) ; C(2;4) et D(−4;−5). Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
0
0
Déterminer les coefficients directeurs des droites (AB) et (CD)
Je détermine m(AB)=4−08−2=46=23 et m(AC)=−4−2−5−4=−6−9=23
Ces deux coefficients directeurs sont égaux.
1
1
Conclure
Les deux droites sont parallèles car les coefficients directeurs sont égaux.
Montrer que deux droites du plan sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection
Soit (O;I;J) un repère du plan. Soit les points A(0;2) ; B(4;8) ; C(2;4) et D(−4;−5). Montrer que les droites (AD) et (CB) sont sécantes.
0
0
Déterminer les coefficients directeurs des droites (AD) et (CB)
Je calcule m(AD)=−4−0−5−2=−4−7=47 et m(CB)=2−44−8=−2−4=2.
Ces deux coefficients sont différents.
J’en déduis que les droites (AD) et (CB) sont sécantes.
Leur intersection est un point unique, les coordonnées vérifient un système linéaire de deux équations à deux inconnues.
1
1
Déterminer l’équation réduite des droites (AD) et (CB)
Grâce aux calculs précédents, je sais que :
(AD) : y=47x+p et (BC) : y=2x+p′ où p et p′ sont des réels.
Les coordonnées de A vérifient l’équation réduite de (AD) et ceux de B vérifient l’équation réduite de (BC).
J’ai : 2=0×47+p=p donc je peux écrire (AD) : y=47x+2.
De même, j’ai 8=2×4+p′, donc p′=0.
Je peux donc écrire (BC) : y=2x+0=2x et construire un système de deux équations à deux inconnues :
<br/>{<br/><br/>47x+2=y<br/>2x=y<br/><br/><br/>
2
2
Résoudre le système linéaire de deux équations à deux inconnues par substitution
J’obtiens par substitution le système <br/>{<br/><br/>47x+2=2x<br/>2x=y<br/><br/><br/>
De ce fait <br/>{<br/><br/>47x−2x=−2<br/>2x=y<br/><br/><br/>
Donc <br/>{<br/><br/>4−1x=−2<br/>2x=y<br/><br/><br/>
Je remplace au final x par 8 dans la deuxième équation afin d’obtenir y=16.
3
3
Conclure
Les droites (AD) et (BC) sont sécantes et leur point d’intersection a pour coordonnées (8;16).
Résoudre par la méthode de substitution, un système linéaire de deux équations à deux inconnues
Résoudre le système linéaire <br/>{<br/><br/>3x−y=11<br/>7x+3y=−1<br/><br/><br/> par la méthode de substitution.
0
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Exprimer l’inconnue y en fonction de l’inconnue x dans la première équation
L’inconnue y a alors le même coefficient, mais de signe différent, donc je peux additionner les deux lignes pour faire disparaître les y.
J’obtiens le système :
<br/>{<br/><br/>2x−5y=7<br/>23x=23<br/><br/>
J’en déduis x=1.
2
2
Conclure
Le système linéaire de deux équations à deux inconnues <br/>{<br/><br/>2x−5y=7<br/>3x+4y=−1<br/><br/> a pour unique solution le couple de coordonnées (1;−1).
Résoudre par la méthode graphique, un système linéaire de deux équations à deux inconnues
Soit (O;I;J) un repère du plan. Résoudre le système linéaire <br/>{<br/><br/>x−y=−2<br/>2x+y=−4<br/><br/> par la méthode graphique.
0
0
Transformer les deux équations en deux équations réduites de droites
J’obtiens en changeant les termes de membre, le système <br/>{<br/><br/>x+2=y<br/>−2x−4=y<br/><br/>
1
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Vérifier que ces deux droites ne sont pas parallèles
Les coefficients directeurs respectifs sont m=1 et m=−2. Ils sont différents donc les deux droites ne sont pas parallèles.
J’en déduis que ce système a une unique solution.
2
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Construire ces deux droites dans le même repère du plan
Pour construire ces deux droites, j’ai besoin d’au moins deux points de chaque droite.
Je choisis A(0;2) et B(−2;0) pour la première droite et C(0;−4) et D(−2;0) pour la deuxième droite.
Je trace alors dans le même repère les droites (AB) et (CD).
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Obtenir la solution du système linéaire par lecture directe sur le repère
Par lecture sur le repère, j’obtiens pour solution du système le couple de coordonnées (−2;0).
Détermination graphique d’un coefficient directeur m d’une droite
Soit (O;I;J) un repère du plan. Soit A(2;7) et B(−1;3) deux points distincts d’une droite (d). Déterminer graphiquement le coefficient directeur de la droite (d).
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Placer les deux points dans le même repère du plan
Je place A et B dans le même repère du plan.
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Construire un triangle rectangle d’hypoténuse [AB] dont les côtés sont parallèles aux axes
J’obtiens deux triangles rectangles. Je les note ABM et ABN.
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Déterminer graphiquement les longueurs AM et BM (ou AN et NB)
(AM) et (BN) étant parallèles à l’axe des ordonnées, on a AM=BN=7−3=4.
De même, comme (BM) et (AN) sont parallèles à l’axe des abscisses, on a BM=AN=2−(−1)=3.