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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Développer
2
Factoriser
3
Identités remarquables
À savoir refaire

  • Résoudre une équation du premier degré

    Résoudre l’équation 2(x+3)−4=5x−12(x + 3) - 4 = 5x - 1.
      0
      0

      Développer puis réduire chacun des membres

      2(x+3)−4=5x−12(x + 3) - 4 = 5x - 1
      2x+6−4=5x−12x + 6 - 4 = 5x - 1
      2x+2=5x−12x + 2 = 5x - 1
      1
      1

      Trouver la solution de l’équation

      2x+2=5x−12x + 2 = 5x - 1
      1+2=5x−2x1+ 2 = 5x - 2x
      3=3x3 = 3x
      33=x\frac{3}{3} = x
      x=1x = 1
      2
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      Conclure

      L’équation 2(x+3)−4=5x−12(x + 3) - 4 = 5x - 1 a pour solution x=1x=1.

  • Résoudre une inéquation du second degré se ramenant à une inéquation du premier degré (position relative de deux paraboles)

    Résoudre l’inéquation (x+4)(x−7)≥(x+3)(x−5)(x + 4)(x - 7) \ge (x + 3)(x - 5).
      0
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      Développer chacun des membres à l’aide de la double distributivité

      • Tu utilises la propriété : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
      • Tu obtiens x2−7x+4x−28≥x2−5x+3x−15x^{2} - 7x + 4x - 28 \ge x^{2} -5x + 3x - 15.
      1
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      Réduire chaque membre de l’inéquation

      Tu obtiens x2−3x−28≥x2−2x−15x^{2} - 3x - 28 \ge x^{2} -2x - 15.
      2
      2

      Résoudre l’inéquation

      • Tu obtiens x2−x2−3x+2x−28+15≥0x^{2} - x^{2}- 3x +2x - 28 + 15 \ge 0.
      • Après calcul, tu as −1x−13≥0- 1x - 13 \ge 0.
      • De ce fait, tu as −13≥x- 13 \ge x.
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      Conclure

      L’inéquation (x+4)(x−7)≥(x+3)(x−5)(x + 4)(x - 7) \ge (x + 3)(x - 5) admet pour solution les réels appartenant à l’intervalle ]−∞;−13]] - \infty ; -13 ].

  • Factoriser

    Factoriser 3x2−17x3 x^{2} - 17x.
      0
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      Identifier le facteur commun

      • Tu exprimes chaque terme sous forme de produit.
      • Tu obtiens 3×x×x−17×x3 \times x \times x - 17 \times x.
      • Le facteur commun est xx.
      1
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      Factoriser

      • Tu transformes la différence en produit.
      • Tu obtiens x(3x−17)x(3x - 17).
      2
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      Conclure

      En conclusion 3x2−17x=x(3x−17)3x^{2} - 17x = x(3x - 17).

  • Factoriser

    Factoriser (3x−2)2−(2x−1)(3x−2)(3x - 2)^{2} - (2x - 1)(3x - 2).
      0
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      Identifier le facteur commun

      • Tu exprimes chaque terme sous forme de produit.
      • Tu obtiens (3x−2)(3x−2)−(2x−1)(3x−2)(3x - 2)(3x - 2) - (2x - 1)(3x - 2).
      • Le facteur commun est (3x−2)(3x - 2).
      1
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      Factoriser

      • Tu transformes la différence en produit.
      • Tu obtiens (3x−2)[(3x−2)−(2x−1)](3x - 2)[(3x - 2) - (2x - 1)].
      2
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      Réduire l’expression

      Tu obtiens :
      • (3x−2)[(3x−2)−(2x−1)]=(3x−2)(3x−2−2x+1)(3x - 2)[(3x - 2) - (2x - 1)] = (3x - 2)(3x - 2 - 2x + 1).
      • (3x−2)(3x−2−2x+1)=(3x−2)(x−1)(3x - 2)(3x - 2 - 2x + 1) = (3x - 2)(x - 1).
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      3

      Conclure

      En conclusion (3x−2)2−(3x−2)(2x−1)=(3x−2)(x−1)(3x - 2)^{2} - (3x - 2)(2x - 1) = (3x - 2)(x - 1).

  • Factoriser

    Factoriser (7x−4)2−7x+4(7x - 4)^{2} - 7x + 4.
      0
      0

      Identifier le facteur commun

      • Tu exprimes chaque terme sous forme de produit.
      • Tu obtiens (7x−4)(7x−4)−1(7x−4)(7x - 4)(7x - 4)- 1(7x - 4).
      • Le facteur commun est (7x−4)(7x - 4).
      1
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      Factoriser

      • Tu transformes la différence en produit.
      • Tu obtiens (7x−4)[(7x−4)−1](7x - 4)[(7x - 4) - 1].
      2
      2

      Réduire l’expression

      Tu obtiens (7x−4)[(7x−4)−1]=(7x−4)(7x−5)(7x - 4)[(7x - 4) - 1] = (7x - 4)(7x - 5).
      3
      3

      Conclure

      En conclusion (7x−4)2−7x+4=(7x−4)(7x−5)(7x - 4)^{2} -7x + 4 = (7x - 4)(7x - 5).

  • Factorisation d’un polynôme du troisième degré sous forme d’un produit de polynôme du premier degré (tableau de signe ; résolution d’équations)

    Vérifier que pour tout xx réel que :
    x3−2x−1=(x2−x−1)(x+1)x^{3} -2x - 1 = (x^{2} - x - 1)(x + 1)
    x2−x−1=(x−12)2−54x^{2} - x - 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}
      0
      0

      Développer (x2−x−1)(x+1)(x^{2} - x - 1)(x + 1)

      • Tu utilises la double distributivité.
      • Tu obtiens (x2−x−1)(x+1)=x3+x2−x2−x−x−1(x^{2} - x - 1)(x + 1) = x^{3} + x^{2} - x^{2} - x - x - 1.
      1
      1

      Réduire l’expression

      • Tu obtiens x3+x2−x2−x−x−1=x3−2x−1x^{3} + x^{2} - x^{2} - x - x - 1 = x^{3} - 2x - 1.
      • En conclusion, l’égalité x3−2x−1=(x2−x−1)(x+1)x^{3} -2x - 1 = (x^{2} - x - 1)(x + 1) est vraie pour tout xx réel.
      2
      2

      Développer (x−12)2−54(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

      • Tu utilises l’identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.
      • Tu obtiens (x−12)2−54=x2−x+14−54(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} = x^{2} - x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4}
      3
      3

      Réduire l’expression

      • Tu obtiens x2−x+14−54=x2−x−1x^{2} - x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = x^{2} - x - 1.
      • En conclusion, l’égalité x2−x−1=(x−12)2−54x^{2} - x - 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} est vraie pour tout xx réel.
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      4

      Factoriser (x−12)2−54(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

      • Tu utilises l’identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b).
      • Tu obtiens (x−12)2−54=(x−12−52)(x−12+52)(x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} = (x - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})(x - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}).
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      5

      Réduire l’expression

      Tu obtiens (x−12−52)(x−12+52)=(x−1+52)(x−1−52)(x - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})(x - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}) = (x - \frac{1 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}).
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      6

      Bilan

      Le polynôme x3−2x−1=(x+1)(x−1+52)(x−1−52)x^{3} - 2x - 1 = (x + 1)(x - \frac{1 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) pour tout xx réel.

  • Exprimer un polynôme du second degré sous différentes formes (tableau de signe ; tableau de variations ; résolution d’équations )

    Vérifier que pour tout xx réel, on a : 4x2−40x+91=(2x−13)(2x−7)=4(x−5)2−94x^{2} - 40x + 91 = (2x - 13)(2x - 7) = 4(x - 5)^{2} - 9.
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      Développer (2x−13)(2x−7)(2x - 13)(2x - 7)

      • Tu utilises la double distributivité.
      • Tu obtiens (2x−13)(2x−7)=4x2−14x−26x+91(2x - 13)(2x - 7) = 4x^{2} -14x - 26x + 91.
      1
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      Réduire l’expression

      • Tu obtiens 4x2−14x−26x+91=4x2−40x+914x^{2} -14x - 26x + 91 = 4x^{2} - 40x + 91.
      • En conclusion, l’égalité (2x−13)(2x−7)=4x2−40x+91(2x - 13)(2x - 7) = 4x^{2} - 40x + 91 est vraie pour tout xx réel.
      2
      2

      Développer 4(x−5)2−94(x - 5)^{2} - 9 avec une identité remarquable

      • Tu utilises l’identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}.
      • Tu obtiens 4(x−5)2−9=4(x2−10x+25)−94(x - 5)^{2} - 9 = 4(x^{2} - 10x + 25) - 9.
      3
      3

      Utiliser la simple distributivité

      Tu obtiens 4(x2−10x+25)−9=4x2−40x+100−94(x^{2} - 10x + 25) - 9 = 4x^{2} - 40x + 100 - 9.
      4
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      Réduire l’expression

      Tu obtiens 4(x2−10x+25)−9=4x2−40x+914(x^{2} - 10x + 25) - 9 = 4x^{2} - 40x + 91.
      L’égalité 4(x−5)2−9=4x2−40x+914(x - 5)^{2} - 9 = 4x^{2} - 40x + 91 est donc vraie pour tout xx réel.
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      5

      Bilan

      L’égalité 4x2−40x+91=(2x−13)(2x−7)=4(x−5)2−94x^{2} - 40x + 91 = (2x - 13)(2x - 7) = 4(x - 5)^{2} - 9 est vraie pour tout xx réel.
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