undefined - Fiche de révision Afterclasse

Trouver l’intersection de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’intersection entre

I

et

J

où :

I = ]-\infty ; +5 [

et

J = [ -2 ; + \infty [

.

0

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Ces deux intervalles sont représentés avec deux couleurs différentes.

1

Trouver l’intersection de ces deux intervalles

L’intersection comporte les réels

x

qui sont à la fois dans

I

et dans

J

.
Localise l’intervalle où sont situées les deux couleurs :

l’intersection de $I$ et $J$ se note $I \cap J = [ -2 ; +5 [$ .

Trouver l’intersection de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’intersection entre

I

et

J

où :

I = ] -\infty ; -6 [

et

J = ]+2 ; +\infty [

.

0

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Ces deux intervalles sont représentés avec deux couleurs différentes.

1

Trouver l’intersection de ces deux intervalles

L’intersection comporte les réels

x

qui sont à la fois dans

I

et dans

J

.
Localise l’intervalle où sont situées les deux couleurs :

l’intersection de $I$ et $J$ est vide, de ce fait $I \cap J = \phi$ .

Trouver l’union de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’union de

I

et

J

où :

I = ] - \infty ; +4 [

et

J = [ -1 ; + \infty [

.

0

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Ces deux intervalles sont représentés avec deux couleurs différentes.

1

Trouver l’union de ces deux intervalles

L’union comporte les réels

x

qui sont dans

I

ou dans

J

.
Localise l’intervalle :

l’union de $I$ et $J$ se note $I\cup J = \mathbb{R}$ .

Trouver l’union de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’union de

I

et

J

où :

I = ] - \infty ; -2 [

et

J = ] +6 ; + \infty [

.

0

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Ces deux intervalles sont représentés avec deux couleurs différentes.

1

Trouver l’union de ces deux intervalles

L’union comporte les réels

x

qui sont dans

I

ou dans

J

.
Localise l’intervalle :

l’union de $I$ et $J$ se note $I \cup J = ] - \infty ; -2 [ \cup ]+6 ; + \infty [$ .

Trouver l’union de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’union de

I

et

J

où :

I = ] - \infty ; -3 [

et

J = ] -3 ; + \infty [

.

0

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Ces deux intervalles sont représentés avec deux couleurs différentes.

1

Trouver l’union de ces deux intervalles

L’union comporte les réels

x

qui sont dans

I

ou dans

J

Localise l’intervalle :

l’union de $I$ et $J$ se note $I \cup J = \mathbb{R} \backslash\ -3$ .

Calculer un nombre, sous forme d’une fraction irréductible

Soit :

A = \frac{\frac{1}{3}+\frac{2}{5}}{\frac{3}{7}-\frac{8}{9}}

0

Calculer chaque membre de la fraction

Tu calcules indépendamment, le numérateur et le dénominateur.

Tu utilises la propriété : $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
$A =\frac{\frac{5}{15}+\frac{6}{15}}{\frac{27}{63}-\frac{56}{63}}$
$A =\frac{\frac{11}{15}}{\frac{-29}{63}}$

1

Faire la division d’une fraction par une fraction

Tu effectues la division du numérateur par le dénominateur.
Tu utilises la propriété : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$
$A = \frac{11}{15} \times \frac{63}{-29}$

2

Décomposer les membres de la fraction

Tu décomposes chaque nombre en produit de facteurs premiers, pour simplifier éventuellement le produit, tu obtiens :
$A = \frac{11 \times 7 \times 3 \times 3}{3 \times 5 \times (-29)}$

3

Simplifier la fraction

Tu simplifies le numérateur et le dénominateur par $3$ , tu obtiens :
$A = \frac{11 \times 7 \times 3}{ 5 \times (-29)}$

4

Faire le calcul final de la fraction

Tu calcules chaque nombre.
Tu obtiens une fraction irréductible égale à :
$A = \frac{231}{-145}$

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction carré

Soit :

f(x) = x^{2} + 6x + 7

une fonction trinôme du second degré.
Déterminer l’image de

\sqrt{2}

par

f

.

0

Remplacer $x$ par la valeur demandée

Tu remplaces $x$ par la valeur $\sqrt{2}$ , dans l’expression de $f$ , tu obtiens :
$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} ^{2} + 6\sqrt{2} + 7$ .

1

Calculer l’expression

Tu calcules l’expression.
Tu utilises la propriété : $\sqrt{a}^{2} = a$ pour $a > 0$ .
$f(\sqrt{2}) = 2 + 6\sqrt{2} + 7$ .
$f(\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$ .

2

Conclure

Tu en conclus que l’image de

\sqrt{2}

par

f

est égale à :

9+6 \sqrt{2}

.

Simplifier une écriture

Soit l’expression :

A = \frac{3}{2 - \sqrt{5}} + \frac{7}{2 + \sqrt{5}}

0

Utiliser la quantité conjuguée pour éliminer le radical du dénominateur

Tu multiplies chaque membre de la fraction par la quantité conjuguée du dénominateur.
Tu utilises la propriété : $(a + b)$ est la quantité conjuguée de $(a - b)$ .
$A = \frac{3 ( 2+ \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})} + \frac{7 (2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5})}$

1

Utiliser les identités remarquables pour éliminer le radical du dénominateur

Tu utilises les identités remarquables pour calculer chaque dénominateur.
Tu utilises la propriété : $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Tu utilises la propriété : $\sqrt{a}^{2} = a$ pour $a > 0$ .
$A = \frac{3 ( 2+ \sqrt{5})}{(4 - 5) } + \frac{7 (2 - \sqrt{5})}{(4 - 5)}$

2

Calculer chaque membre de l’expression

Tu développes et tu réduis chaque membre du numérateur et tu réduis le dénominateur, tu obtiens :
$A = \frac{6 + 3 \times \sqrt{5} + 14 - 7 \times \sqrt{5}}{-1}$
$A = \frac{20 - 4 \times \sqrt{5}}{-1}$

3

Conclure

Tu en conclus que l’expression

A

est égale à :

4 \sqrt{5} - 20

.

Déterminer la nature d’un triangle à partir de la mesure de ses $3$ côtés

Soit un triangle

ABC

, dont les dimensions sont :

AB = \sqrt{45} - \sqrt{20}

;

AC = \sqrt{54} - \sqrt{24}

et

BC = \sqrt{11}

.

0

Décomposer les racines carrées

Tu simplifies chaque racine carrée en la décomposant :
Tu utilises la propriété : $\sqrt{a^{2} \times b} = a \sqrt{b}$ .
$AB = \sqrt{3^{2} \times 5} - \sqrt{2^{2} \times 5}$ ; $AC = \sqrt{3^{2} \times 6} - \sqrt{2^{2} \times 6}$ et $BC = \sqrt{11}$ .
$AB = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$ ; $AC = 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6}$ et $BC = \sqrt{11}$ .

1

Réduire chaque expression

Tu réduis chaque nombre, tu obtiens :
$AB = \sqrt{5}$ ; $AC = \sqrt{6}$ et $BC = \sqrt{11}$ .

2

Utiliser Pythagore

Tu calcules le carré de chacun des nombres, dans l’éventualité d’utiliser une réciproque ou une contraposée du théorème de Pythagore.
Tu utilises la propriété : $\sqrt{a}^{2} = a$ pour $a > 0$ .
$AB^{2} = 5$ ; $AC^{2} = 6$ et $BC^{2} = 11$ .

3

Conclure

Tu remarques que $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$ , de ce fait tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore.
Tu en conclus que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Trouver l’intersection de deux intervalles de R\mathbb{R}R

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Trouver l’intersection de ces deux intervalles

Trouver l’intersection de deux intervalles de R\mathbb{R}R

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Trouver l’intersection de ces deux intervalles

Trouver l’union de deux intervalles de R\mathbb{R}R

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Trouver l’union de ces deux intervalles

Trouver l’union de deux intervalles de R\mathbb{R}R

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Trouver l’union de ces deux intervalles

Trouver l’union de deux intervalles de R\mathbb{R}R

Représenter ces deux intervalles sur le même axe

Trouver l’union de ces deux intervalles

Calculer un nombre, sous forme d’une fraction irréductible

Calculer chaque membre de la fraction

Faire la division d’une fraction par une fraction

Décomposer les membres de la fraction

Simplifier la fraction

Faire le calcul final de la fraction

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction carré

Remplacer xxx par la valeur demandée

Calculer l’expression

Conclure

Simplifier une écriture

Utiliser la quantité conjuguée pour éliminer le radical du dénominateur

Utiliser les identités remarquables pour éliminer le radical du dénominateur

Calculer chaque membre de l’expression

Conclure

Déterminer la nature d’un triangle à partir de la mesure de ses 333 côtés

Décomposer les racines carrées

Réduire chaque expression

Utiliser Pythagore

Conclure

Trouver l’intersection de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’intersection de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’union de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’union de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Trouver l’union de deux intervalles de $\mathbb{R}$

Remplacer $x$ par la valeur demandée

Déterminer la nature d’un triangle à partir de la mesure de ses $3$ côtés