CHAPITRE 12

Aire et périmètre

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Graphiques

Les notions de périmètre et d’aire

Aire et périmètre de polygones

Cercles et disques

À savoir refaire

Aire et périmètre de polygones

- APérimètres des polygones usuels
  - Définition
    Carré
    Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
    
    On « déroule » le carré :
  - Propriété
    Périmètre d’un carré
    Si un carré ou un losange a des côtés de longueur $c$ , son périmètre vaut $c + c + c + c = 4 \times c$ .
  - Exemple
    Un carré de côté $3,2$ cm a un périmètre de longueur $4 \times 3,2$ cm $= 12,8$ cm.
  - Définition
    Rectangle
    Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
    
    On « déroule » le rectangle :
  - Propriété
    Périmètre d’un rectangle
    Si un rectangle a un côté de longueur $l$ et un autre côté de longueur $L$ , alors son périmètre sera $l + L + l + L = 2 \times (l + L)$ .
  - Remarque
    On peut aussi le calculer différemment : $l + l + L + L = (2 \times l) + (2 \times L)$ .
  - Exemple
    Un rectangle dont le petit côté mesure $3$ cm et le grand côté mesure $5$ cm a un périmètre qui mesure :
    
    $3+5+3+5$ cm
    $= 2 \times (3+5)$ cm
    $= 2 \times 8$ cm
    $=16$ cm
    
    $3+3+5+5$ cm
    $=(2\times 3)+(2\times 5)$ cm
    $=6+10$ cm
    $=16$ cm
- BAire d’un carré et d’un rectangle
  - Propriété
    Aire d’un carré
    
    L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
    
    Si un carré a un côté de longueur $c$ , l’aire $A$ vaut donc :
    
    $A = c \times c$
    
    Aire $=$ côté $\times$ côté
  - Remarque
    Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :
    
    cm $\times$ cm $=$ cm²
    
    m $\times$ m $=$ m²
    
    km $\times$ km $=$ km²
  - Exemple
    L’aire d’un carré de $3$ cm de côté est $3$ cm $\times 3$ cm $= 3 \times 3$ cm² $= 9$ cm².
  - Propriété
    Aire d’un rectangle
    L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
    
    $A =$ longueur $\times$ largeur
  - Remarque
    Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
    
    Si un rectangle est de longueur $l$ et de largeur $L$ , alors l’aire du rectangle $A$ vaut : $A = l \times L$ .
  - Exemple
    Si un rectangle a une longueur de $3$ cm et une largeur de $5$ cm, alors son aire vaut $3$ cm $\times 5$ cm $= 3 \times 5$ cm² $= 15$ cm².
- CAire d’un triangle
  - Définition
    Aire d’un triangle rectangle
    L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.
  - Propriété
    Aire d’un triangle rectangle
    Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents $a$ et celle de l’autre côté adjacent $b$ , l’aire $A$ du triangle rectangle vaut donc :
    
    $A = (a \times b) \div 2$
    
    $A = \frac{a \times b}{2}$
  - Exemple
    Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent $3$ cm et $7$ cm a donc une aire de :
    $(3$ cm $\times 7$ cm $) \div 2 = ((3 \times 7) \div 2)$ cm² $= 21 \div 2$ cm² $= 10,5$ cm².
  - Définition
    Hauteur d’un triangle
    Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
    
    Le segment $[CH]$ est une hauteur du triangle $ABC$ .
  - Propriété
    Aire d’un triangle
    On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur $a$ une longueur $s$ , alors l’aire du triangle vaut :
    
    $A =$ (support $\times$ hauteur) $\div 2$
    
    $A = \frac{s \times h}{2}$
  - Exemple
    Dans le triangle $ABC$ , $CH$ est une hauteur.
    Si $CH = 7$ cm et $AB = 10$ cm, alors l’aire du triangle vaut ( $7$ cm $\times 10$ cm) $\div 2 = (7 \times 10) \div 2$ cm² $= 35$ cm² .
  - Remarque
    La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans cette exemple :
    
    Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur $\times$ support) $\div 2$ .