Un entier b est un diviseur d’un autre entier a lorsque le reste de la division euclidienne de a par b vaut 0. On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b.
Remarque
Quand un nombre vaut 0, on dit qu’il est nul.
Remarque
Si b divise a, a est un multiple de b et il existe donc un entier q tel que a=b×q.
ex. : 3 divise 12 et 12=4×3.
Remarque
0 est divisible par tous les nombres entiers : si n est un nombre entier, 0=n×0.
1 est divisible uniquement par 1.
BCritères de divisibilité
Remarque
Pour étudier la divisibilité de nombres simples, on peut effectuer la division entière et voir si le reste est nul. Pour des grands nombres, c’est plus compliqué ! On peut alors utiliser les critères suivants.
Règle
Divisibilité par 2, 5 et 10
Un nombre divisible par 2 est appelé nombre pair. Un nombre entier est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.
Exemple
74 est divisible par 2 alors que 75 ne l’est pas.
595 est divisible par 5 alors que 778 ne l’est pas.
450 est divisible par 10 alors que 7758 ne l’est pas.
Règle
Divisibilité par 3, 4 et 9
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Exemple
On additionne les chiffres de 612 : 6+1+2=9=3×3. Comme 9 est divisible par 3 alors 612 est aussi divisible par 3.
On additionne les chiffres de 731 : 7+3+1=11. Comme 11 n’est pas divisible par 9,731 ne l’est pas non plus.
On prend les deux derniers chiffres de 1479568 qui sont 6 et 8. Si l’on effectue la division de 68 par 4, on obtient un reste nul : 1479568 est donc divisible par 4.
CCalculer hors d’un système décimal : l’exemple des mesures de temps
Remarque
Notre système de numération est décimal, c’est-à-dire que les nombres sont écrits avec des « paquets de dix ». Ex. :
une dizaine = 10 unités ;
une centaine = 10 dizaines.
C’est la base 10 ! Il existe d’autres manières de noter les nombres, par exemple lorsque l’on veut noter des horaires et des durées.
Propriété
Addition et soustraction de durées
On peut additionner et soustraire des durées en traitant séparément secondes, minutes, heures, etc. Il faut ensuite penser à écrire la durée de manière correcte, en base 60.