undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

0 pts

Formules et Théorèmes

À savoir refaire

Variable aléatoire

Expérience répétée à l’identique

Échantillonnage

Formules et Théorèmes

Espérance d’une variable aléatoire
Soit $X$ une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs $x_1; \cdots ; x_m$ .
$E(X) = x_1 P(X = x_1) + \cdots + x_m P(X = x_m)$
Linéarité de l’espérance
Soient $X$ une variable aléatoire, $a$ , $b$ deux réels.
$E(aX+b) = aE(X)+b$
Variance d’une variable aléatoire
Soit $X$ une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs $x_1 ; \cdots ; x_m$ .
$V(X) = E[(X-E(X))^2]$
$V(X) = (x_1-E(X))^2 P(X = x_1) + \cdots + (x_m-E(X))^2 P(X = x_m)$
$V(X) = E[X^2]-E[X]^2$
Variance et opération affine sur une variable aléatoire
Soient $X$ une variable aléatoire, $a$ , $b$ deux réels.
$V(aX+b) = a^2 V(X)$
Écart-type d’une variable aléatoire
Soit $X$ une variable aléatoire.
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Relation sur les coefficients binomiaux
Soient un entier naturel $n$ ,et $k$ variant de $0$ à $n$ .
${n \choose k} + {n \choose{k+1}} = {{n+1}\choose{k+1}}$
${n \choose k} = {n \choose n-k}$
Espérance et variance pour la loi de Bernoulli
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$ .
$E(X) = p$
$V(X) = p(1-p)$
Espérance et variance pour la loi binomiale
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$ .
$E(X) = np$
$V(X) = np(1-p)$
Intervalle de fluctuation au seuil de $95$ %
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$ .
L’intervalle de fluctuation au seuil de $95$ % de $X$ est l’intervalle $[a;b]$ où $a$ est le plus grand entier et $b$ le plus petit entier tels que :
$P(X < a) \leq 0,025 = 2,5$ %
$P(X > b) \leq 0,025 = 2,5$ %
Intervalle de fluctuation au seuil de $95$ % en fréquence
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$ .
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % en fréquence de $X$ est l’intervalle :
$\left[\frac{a}{n};\frac{b}{n}\right]$
Approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de $95$ %
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(n;p)$ .
Lorsque :
- $n \geq 25$ ;
- et $0,2 \leq p \leq 0,8$ ;
l’intervalle de fluctuation au seuil de $95$ % en fréquence de $X$ est approché par l’intervalle :
$\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ .

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Espérance d’une variable aléatoire

Linéarité de l’espérance

Variance d’une variable aléatoire

Variance et opération affine sur une variable aléatoire

Écart-type d’une variable aléatoire

Relation sur les coefficients binomiaux

Espérance et variance pour la loi de Bernoulli

Espérance et variance pour la loi binomiale

Intervalle de fluctuation au seuil de 959595 %

Intervalle de fluctuation au seuil de 959595 % en fréquence

Approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de 959595 %

Intervalle de fluctuation au seuil de $95$ %

Intervalle de fluctuation au seuil de $95$ % en fréquence

Approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de $95$ %