Répétition d’expériences identiques et indépendantes
Répéter une expérience aléatoire à l’identique et de manière indépendante consiste à recommencer n fois une même expérience, chaque nouvelle expérience ne dépendant pas des précédentes.
Exemple
Lancer n fois de suite une pièce et regarder le côté sur lequel elle tombe est une expérience répétée à l’identique et de manière indépendante.
L’expérience suivante en revanche ne l’est pas : on pioche plusieurs fois de manière aléatoire une boule dans un bac contenant un certain nombre de boules noires et blanches. À chaque fois, si on obtient une boule blanche on la retire du bac avant de piocher la boule suivante, sinon on remet la boule tirée dans le bac. Ici le contenu du bac au cours de l’expérience dépend des pioches antérieures, donc les tirages successifs ne sont pas indépendants.
Propriété
Loi de probabilité d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes
Supposons qu’une expérience est répétée à l’identique de manière indépendante n fois.
La probabilité qu’une succession d’événements se produise lors de cette répétition est le produit des probabilités de chacun de ces événements.
Exemple
Lors du lancer d’une pièce truquée, la probabilité de tomber sur pile est 31, et la probabilité de tomber sur face est 32. Si on répète le lancer 3 fois, la probabilité de faire une succession de 3 piles est donc 31×31×31=331=271.
Propriété
Représentation d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré
Une succession d’expériences identiques et indépendantes peut être représentée par un arbre pondéré : chaque nœud correspond à une répétition de l’expérience ; les branches qui partent d’un nœud correspondent aux diverses issues de l’expérience, auxquels on associe la probabilité qu’a chaque issue de se réaliser. Ainsi la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est 1.
Exemple
On jette une pièce truquée (probabilité de tomber sur pile : 31, sur face : 32) trois fois : les branches de l’arbre pondéré associé à l’expérience correspondent au cas où le côté obtenu est pile ou face.
BÉpreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli
Définition
Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues :
succès ou échec.
Exemple
On considère un bac rempli de n boules blanches et d’une boule rouge.
On pioche une boule au hasard et l’on gagne si la boule piochée est la rouge.
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli car elle possède deux issues : tirer la boule rouge ou tirer une boule blanche.
Définition
Loi de Bernoulli
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p :
si X peut prendre deux valeurs, 0 ou 1 ;
et si :
P(X=1)=p
P(X=0)=1−p
Propriété
Espérance et variance pour la loi de Bernoulli
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
E(X)=p
V(X)=p(1−p)
CSchéma de Bernoulli, loi binomiale
Définition
Coefficient binomial
Le coefficient binomial (kn), où 0≤k≤n, est le nombre de situations qui comportent exactement k succès, lors de n répétitions à l’identique et de manière indépendante d’une expérience aléatoire à deux issues.
Exemple
Si on lance une pièce 3 fois, les situations qui comportent exactement une fois pile sont les suivantes :
Situation
Lancer n°1
Lancer n°2
Lancer n°3
1
Pile
Face
Face
2
Face
Pile
Face
3
Face
Face
Pile
Il y en a donc 3. Ainsi, (13)=3.
Propriété
Relation sur les coefficients binomiaux
Pour tout entier naturel n, et k variant de 0 à n−1, on a :
(kn)+(k+1n)=(k+1n+1) ;
(kn)=(n−kn)
Remarque
Ces propriétés permettent de construire le « triangle de Pascal » : il s’agit de placer dans un tableau les coefficients binomiaux de sorte qu’à la n-ième ligne et k-ième colonne se trouve le coefficient (kn). On peut obtenir très facilement la valeur de la case (n+1;k+1) en sommant celles des cases (n,k) et (n;k+1) de la ligne n (d’après la propriété précédente). On remplit ainsi petit à petit les cases du tableau en partant des valeurs initiales.
Définition
Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une expérience aléatoire définie par la répétition n fois d’une épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité p, de manière indépendante et identique.
Définition
Loi binomiale
Un variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n;p), si X prend ses valeurs dans l’ensemble {0,⋯,n} et si :
P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k ;
pour k compris entre 0 et n.
Remarque
Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Propriété
Espérance et variance pour la loi binomiale
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n;p).
E(X)=np
V(X)=np(1−p)
Exemple
Un casino propose un jeu d’argent qui se décompose en trois manches. Chaque manche consiste à piocher aléatoirement une carte dans un jeu de 10 cartes numérotées de 1 à 10. Le joueur remporte la manche s’il pioche la carte 1. Les cartes sont mélangées entre chaque manche.
Ce jeu est un schéma de Bernoulli (car on répète plusieurs fois la même expérience à l’identique et de manière indépendante, car les cartes sont mélangées).
Le nombre de répétitions est n=3 ; la probabilité de succès est p=101 (car le joueur pioche une carte parmi 10, de manière aléatoire donc équiprobable).
La variable X qui compte le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres n=3 et p=101.
L’espérance du nombre de succès est donc : E(X)=3×101=103.