L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble $\Omega$ des issues possibles de l’expérience.

Le lancé d’un dé à six faces constitue une expérience aléatoire dont l’univers est l’ensemble des faces possibles du dé :

• $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

Un événement d’une expérience aléatoire est un ensemble d’issues de l’expérience, c’est-à-dire une partie de son univers $\Omega$.

Lors du lancer d’un dé à six faces, on peut considérer l’événement correspondant à la situation où le dé tombe sur une face paire :

• c’est la partie $A = \{2,4,6\}$ de l’univers $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.

Une loi de probabilité d’une expérience aléatoire d’univers $\Omega = \{w_1, \cdots, w_n\}$ est une famille de réels $p_1, \cdots ,p_n$, appelés probabilités élémentaires, telle que :

• $0 \leq p_i \leq 1$ pour tout $i$ ;
• $p_1+ \cdots +p_n=1$.

Le réel $p_i$ traduit la chance que l’issue $w_i$ a de se produire :

• plus $p_i$ est proche de 1, plus l’issue risque de survenir ;
• au contraire  si $p_i$ est proche de 0, $w_i$ a très peu de chance de se produire.

Pour un dé équilibré à six faces, chaque face à autant de chance que les autres de tomber. Dans l’univers $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ de l’expérience, on associe donc à la face $i$ la probabilité élémentaire $p_i = \frac{1}{6}$.

La probabilité d’un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités élémentaires $p_i$ des issues $w_i$ contenues dans $A$.

En reprenant le dé équilibré à six faces de l’exemple précédent, la probabilité de l’événement $A = \{2,4,6\}$ (traduisant le fait que le dé tombe sur une face paire) est :

• $P(A) = p_2+p_4+p_6 = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.

Lors d’un jeu consistant à lancer d’un dé à six faces, le lanceur remporte un certain nombre de points dépendant de la face sur laquelle le dé tombe. Ex. :

• $2$ points si la face affichée est un nombre pair ;
• $0$ point sinon.

Mathématiquement cela revient à définir une variable aléatoire $X$ qui vaut $2$ si la face est un nombre pair, $0$ si la face est un nombre impair.

La loi de probabilité d’une variable aléatoire pouvant prendre les différentes valeurs $x_1 ; \cdots ; x_m$ est l’ensemble des réels $P(X = x_i)$ pour $i$ variant de $1$ à $m$, où :

• $P(X = x_i)$ est la probabilité de l’événement contenant les issues de l’expérience associées à $x_i$.

Dans l’exemple précédent, la variable aléatoire peut prendre deux valeurs $2$ et $0$. L’ensemble des issues qui correspondent à la valeur $2$ est l’ensemble des cas où le dé tombe sur une face paire

• il s’agit de l’événement $A = \{2,4,6\}$.
• Donc $P(X = 2) = P(A) = \frac{1}{2}$.

De même pour la valeur $0$, qui est associée aux issues impaires : $P(X = 0) = P(\{1,3,5\}) = \frac{1}{2}$.

Le tableau suivant récapitule la loi de $X$ :

$a$	0	2
$P(X = a)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

L’espérance d’une variable $X$ pouvant prendre les différentes valeurs $x_1 ; \cdots ; x_m$, est le réel :

• $E(X) = x_1 P(X = x_1) + \cdots + x_m P(X = x_m)$

$E(X)$ est la moyenne des valeurs possibles de la variable aléatoire, pondérée par les probabilités. Il s’agit de la valeur que $X$ prend en moyenne lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

Si on reprend l’exemple du dé équilibré auquel on associe un nombre de points ($2$ points si la face est paire,$0$ si elle est impaire), on a calculé :

• $P(X = 2) = P(X = 0) = \frac{1}{2}$.
• Donc $E(X) = 2 \times P(X = 2) + 0 \times P(X = 0) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

Cette valeur correspond bien à l’idée d’une moyenne des points obtenus lorsque l’on répète le lancé un grand nombre de fois : en effet, comme on a autant de chance d’obtenir $2$ points que $0$, en moyenne sur un grand nombre de lancés le nombre de points gagnés est $1$.

Soient $X$ une variable aléatoire, $a$, $b$ deux réels.

• $E(aX+b) = aE(X)+b$

La variance d’une variable aléatoire $X$ est :

• $V(X) = E[(X-E(X))^2]= (x_1-E(X))^2 P(X = x_1) + \cdots + (x_m-E(X))^2 P(X = x_m)$

La variance permet de mesurer la moyenne des carrés des écarts à l’espérance de la variable $X$. Elle indique donc comment les valeurs de $X$ sont réparties autour de $E(X)$, en prenant aussi en compte la loi de probabilité de la variable aléatoire.

Pour un dé équilibré à six faces en reprenant la même variable aléatoire des exemples précédents, l’espérance vaut :

• $E(X) = 1$.
• Donc la variance se calcule selon : $V(X) = (2-E(X))^2 P(X = 2)+(0-E(X))^2 P(X = 0) = (2-1)^2 \frac{1}{2} + (0-1)^2 \frac{1}{2} = 1$

Soit $X$ une variable aléatoire.

• $V(X) = E[X^2]-E[X]^2$

Dans cette formule, il est nécessaire de calculer $E[X^2]$. Pour y parvenir, définir la nouvelle variable aléatoire $Y = X^2$ puis calculer $E[Y]$ à l’aide de la formule définissant l’espérance, donnée un peu plus haut.

Soient $X$ une variable aléatoire, $a$, $b$ deux réels.

• $V(aX+b) = a^2 V(X)$

L’écart-type d’une variable aléatoire est :

• $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

L’expérience précédente a pour variance $V(X) = 1$ donc $\sigma(X) = 1$.