undefined - Fiche de révision Afterclasse

Calculer la probabilité qu'un événement a de se produire

Un dé équilibré à

12

faces possède

3

faces numérotées

1

,

4

faces numérotées

2

,

3

faces numérotés

3

et

2

faces numérotées

4

. Quelle est la probabilité de tomber sur une face impaire après un lancer ?

0

Déterminer les issues possibles de l'expérience

Les faces sont numérotées de

1

à

4

.

Il y a donc $4$ issues.
L'univers est alors $\Omega = \{1;2;3;4\}$ .

1

Déterminer la loi de probabilité de expérience aléatoire

Le dé est équilibré.

Il a la même probabilité de tomber sur chaque face (situation équiprobable).
La probabilité de tomber sur la face $i$ est $p_i = \frac{\text{Nombre de faces numerotees }i}{\text{Nombre total de faces}}$ .

La loi de probabilité est résumée dans le tableau suivant :

Face	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$	$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$	$\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$	$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

2

Décrire l'événement dont il est demandé de calculer la probabilité

L'événement ici est « Tomber sur une face impaire ». Il correspond donc à la partie :

$A = \{1;3\}$ de $\Omega$ .

3

Calculer la probabilité de l'événement

On obtient :

$P(A) = p_1 + p_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

Voici un jeu de hasard : trois gobelets sont retournés sur une table. Dans l’un d’entre eux se trouve une pièce de

2

euros, dans un autre une pièce de

1

euro, et le dernier est vide. Pour jouer, un joueur doit payer

1

euro. Les gobelets sont alors mélangés de sorte que l’on ne puisse pas suivre les mouvements. Le joueur désigne ensuite un gobelet et gagne l’éventuelle pièce qui se trouvait dessous : que peut-il espérer gagner en moyenne ?

0

Décrire la variable aléatoire qui doit être associée à l'expérience

La variable aléatoire

X

est ici l'argent récolté/perdu par le joueur à la fin de l'expérience.

1

Déterminer les issues de la variable aléatoire

X

peut prendre trois valeurs :

$1$ (le joueur tombe sur la pièce de $2$ euros) ;
$0$ (il tombe sur la pièce de $1$ euro) ;
$-1$ (il tombe sur le gobelet vide).

2

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire

Le choix est fait aléatoirement :

les différents choix sont faits avec la même probabilité (situation équiprobable).
Il y a trois choix, donc cette probabilité est de $\frac{1}{3}$ .

La loi de probabilité de

X

est résumée dans le tableau suivant :

$X$	$1$	$0$	$-1$
$P(X = x_i)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

3

Calculer l'espérance de la variable aléatoire et l'interpréter

On applique la formule :

$E(X) = 1 \times P(X = 1) + 0 \times P(X = 0) + (-1) \times P(X = -1)$
$E(X) =\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$ .

Le gain d'argent en moyenne de l'observateur s’il joue un grand nombre de fois est donc nul : le jeu semble pourtant alléchant car le mélangeur met en jeu une plus grosse somme que l'observateur.

Reconnaître un schéma de Bernoulli et calculer la loi binomiale associée

Une pièce biaisée a une probabilité

\frac{1}{6}

de tomber sur pile et

\frac{5}{6}

de tomber sur face. On la lance

5

fois d'affilée en notant le côté sur lequel elle tombe.
En moyenne, combien de fois la pièce va-t-elle tomber sur pile lors d’une série de

5

lancés ?
Quelle est la probabilité de tomber deux fois sur pile parmi les

5

lancés ?

0

Déterminer s'il y a répétition d'expériences identiques et indépendantes à deux issues

Le lancer de pièce est répété cinq fois de suite, sans que les lancers influent les uns sur les autres. On a donc bien répétition d'une même expérience à l'identique et de manière indépendante.

Cette expérience possède deux issues (tomber sur pile ou sur face).
Il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli.

1

Donner les paramètres de la loi binomiale associée

Cette expérience comporte

n=5

répétitions, et la probabilité de succès (tomber sur pile) est

p = \frac{1}{6}

.

Le nombre de succès, donné par la variable aléatoire

X

, suit donc la loi binomiale

B(5, \frac{1}{6})

.

2

Calculer l'espérance et la variance

Comme

X

suit la loi binomiale

B(5, \frac{1}{6})

, on a :

$E(X) = np = 5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
$V(X) = np(1-p) = 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

Ainsi en arrondissant, sur

5

lancers on peut espérer en moyenne tomber une fois sur pile.

L'espérance serait clairement plus grande avec une pièce équilibrée.

3

Calculer la probabilité de faire deux piles

La formule de la loi binomiale

B(5, \frac{1}{6})

donne :

$P(X = 2) = {n\choose p} p^2 (1-p)^{n-2}$
$P(X = 2) = {5\choose2} \frac{1}{6^2} \left(\frac{5}{6}\right)^3 = {5\choose2} \frac{5^3}{6^5}$ .

Il reste à calculer

{5\choose2}

. Plusieurs méthodes sont possibles :

soit on se sert de sa calculatrice (sur TI ou Casio il faut écrire « 5 nCr 2 »; pour trouver « nCr » sur Casio aller dans « MENU RUN », puis « PROB », et choisir « nCr ») ;
soit on construit le triangle de Pascal.

$n$ $k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$

Ainsi, ${5\choose2} = 10$ .
D'où $P(X = 2) = 10 \times \frac{5^3}{6^5} = \frac{625}{3888} \approx 0,16$ .

Déterminer l’intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale (avec une calculatrice)

Détermine à l’aide d’une calculatrice (TI ou Casio par exemple) l’intervalle de fluctuation au seuil de

95

% d’une variable aléatoire

X

suivant la loi

B(10,0.7)

.

0

Afficher la loi binomiale cumulée $B(10,0.3)$ dans un tableur

Il s’agit de créer un tableur contenant deux colonnes : la première avec les entiers

k

allant de

0

à

10

; la seconde avec les valeurs

P(X \leq k)

.

Méthode sur une Casio 35+

Aller dans l’onglet statistiques (« Stat », touche 2).
Ajouter dans la liste 1 les valeurs $0$ à $10$ .
Dans le menu, choisir DIST (touche F5), puis BINM (touche F5), puis Bcd (touche F2)
Renseigner les paramètres ainsi : « Data : List », « List : Liste1 », « Numtrial : 10 », « p : 0.7 ».
Sélectionner éxécuter.

Méthode sur une TI 84+

Appuyer sur la touche « Y= ».
Dans le menu « DISTR » (Touches « 2ND »+ »VARS »), sélectionner « A : BinomFdp (« et appuyer sur « ENTER ».
Compléter alors la formule ainsi : « \Y1 = BinomFdp(10,0.7,X) ».
Aller dans le menu « TBLSET » (Touches « 2ND »+ »WINDOW »).
Renseigner les paramètres ainsi : « DébTbl=0 », « Pas=1 », « Valeurs:Auto Dem », « Calculs:Auto Dem ».
Afficher le tableur.

1

Déterminer l’intervalle de fluctuation

Cela revient à trouver, parmi les valeurs calculées, des entiers

a

et

b

tels que :

$a$ est le plus grand entier vérifiant $P(X < a) \leq 0,025$ ;
et $b$ est le plus petit entier vérifiant $P(X > b) \leq 0,025$ ;
c’est à dire $P(X \leq b) \geq 0,975$ .

Le tableau suivant récapitule les valeurs données par la calculatrice :

$k$	$P(X \leq k)$
$0$	$5,90 \times 10^{-6}$
$1$	$1,44 \times 10^{-4}$
$2$	$1,59 \times 10^{-3}$
$3$	$0,0106$
$4$	$0,0473$
$5$	$0,150$
$6$	$0,350$
$7$	$0,617$
$8$	$0,851$
$9$	$0,972$
$10$	$1$

Ainsi $a = 4$ et $b=9$ .

2

Conclusion

L’intervalle de fluctuation de $X$ au seuil de $95$ % est $[4;9]$ .
L’intervalle de fluctuation en fréquence est $[0,4;0,9]$ .

Vérifier la fréquence d’apparition d’un caractère dans une population

On cherche à vérifier qu’une pièce est équilibrée, c’est-à-dire que la probabilité

p

de tomber sur face est de

\frac{1}{2}

. Pour cela on effectue

5

séries de

n = 2500

lancers et on note le nombre de fois où on elle est tombée sur face. On obtient les résultats suivant :

Série	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Nombre de « faces »	$1275$	$1277$	$1403$	$1314$	$1328$

La pièce est-elle équilibrée ?
Sinon, quelle est la probabilité de tomber sur face ?

0

Déterminer la fréquence à vérifier

On cherche à savoir si la pièce est équilibrée, c’est-à-dire si sa fréquence d’apparition est en moyenne

p = \frac{1}{2}

.

1

Calculer l’intervalle de fluctuation en fréquence pour la fréquence supposée $p$

L’intervalle de fluctuation en fréquence pour

p = \frac{1}{2}

et

n = 2500

peut être approché par :

$[p-\frac{1}{\sqrt{n}}; p+\frac{1}{\sqrt{n}}] = [0,48;0,52]$ .
car $0,2\le 0,5\le 0,8$ et $n=2500\ge 25$ .

2

Calculer les fréquences pour chaque échantillon

Elles sont données par le tableau suivant :

Série	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Fréquence du nombre de « faces »	$0,510$	$0,511$	$0,561$	$0,526$	$0,531$

3

Comparer les fréquences de chaque échantillon aux bornes de l’intervalle de fluctuation

Plus de la moitié des fréquences pour chaque échantillon est en dehors de l’intervalle de fluctuation.

La probabilité de tomber sur face n’est donc pas exactement $\frac{1}{2}$ .
La pièce n’est pas équilibrée.

4

Calculer la fréquence moyenne sur les différents échantillons

La moyenne des différentes fréquences sur les échantillons est

f = 0,528

.

La probabilité de tomber sur face est donc proche de $0,528$ .

Calculer la probabilité qu'un événement a de se produire

Déterminer les issues possibles de l'expérience

Déterminer la loi de probabilité de expérience aléatoire

Décrire l'événement dont il est demandé de calculer la probabilité

Calculer la probabilité de l'événement

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

Décrire la variable aléatoire qui doit être associée à l'expérience

Déterminer les issues de la variable aléatoire

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire

Calculer l'espérance de la variable aléatoire et l'interpréter

Reconnaître un schéma de Bernoulli et calculer la loi binomiale associée

Déterminer s'il y a répétition d'expériences identiques et indépendantes à deux issues

Donner les paramètres de la loi binomiale associée

Calculer l'espérance et la variance

Calculer la probabilité de faire deux piles

Déterminer l’intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale (avec une calculatrice)

Afficher la loi binomiale cumulée B(10,0.3)B(10,0.3)B(10,0.3) dans un tableur

Déterminer l’intervalle de fluctuation

Conclusion

Vérifier la fréquence d’apparition d’un caractère dans une population

Déterminer la fréquence à vérifier

Calculer l’intervalle de fluctuation en fréquence pour la fréquence supposée ppp

Calculer les fréquences pour chaque échantillon

Comparer les fréquences de chaque échantillon aux bornes de l’intervalle de fluctuation

Calculer la fréquence moyenne sur les différents échantillons

Afficher la loi binomiale cumulée $B(10,0.3)$ dans un tableur

Calculer l’intervalle de fluctuation en fréquence pour la fréquence supposée $p$