Soit une série statistique  ordonnée suivant les valeurs croissantes, d’effectif total $n$.

• Le 1^er quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25$ %e ds valeurs de la série lui sont inférieures.
• Le 3^ème quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75$ % des valeurs de la série lui sont inférieures.

Pour rendre compte graphiquement de cela, on reporte ces données sur un diagramme en boîte rassemblant sur un même schéma le minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$, et le maximum.

En reprenant notre exemple, traçons le diagramme en boîte. Pour cela, il nous faut :

• les quartiles : la classe est constituée de $29$ élèves.
  • $\frac{29}4=7,25$
  • $3\times7,25=21,75$.

On prend donc (en arrondissant à l’entier supérieur) pour $Q_1$ la note du 8^e élève (en partant du bas), et pour $Q_3$ celle du 22^e. Soit : $Q_1=4$ et $Q_3=18$.

• les notes extrêmes : la note la plus basse est $1/20$, la meilleure note, $20/20$.
• la médiane : nous l’avons calculée précédemment, $m=14$.

Avec ceci, tu peux tracer facilement le diagramme en boîte synthétisant graphiquement la série de données. N’oublie pas de tracer la droite graduée en dessous !

L’importante longueur de la « boîte » vis à vis de la longueur du diagramme révèle une dispersion importante des notes de notre exemple.

Soit une série statistique de 1^er et 3^e quartile $Q_1$ et $Q_3$.
On appelle écart interquartile $I$ la différence :

• $I=Q_3-Q_1$

Plus les valeurs sont dispersées, plus l’écart interquartile est grand.

En restant toujours sur le même exemple, calculons l’écart interquartile :
$I=Q_3-Q_1=18-4=14$
La valeur $14$, vis-à-vis de l’amplitude des notes possibles ($0-20)$ est très grand, ce qui confirme la forte dispersion des résultats. Cette donnée indique au professeur que, certes, la médiane est correcte ($14$), mais qu’elle cache des résultats très dispersés, et n’est donc pas représentative de toute la classe : un grand nombre d’élèves pourrait être en difficulté.

Soit la série statistique d’effectif total $n$ et de moyenne $\mu$ suivante :
 

Caractère	$x_1$	$x_2$	...	$x_p$
Effectifs	$n_1$	$n_2$	...	$n_p$

On définit la variance $V$ de la série par :

• $V=\frac1n (n_1(x_1-\mu)^2+n_2(x_2-\mu)^2+...+n_p(x_p-\mu)^2)$
• $V=\frac1n\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\mu)^2$

Sur notre exemple, nous avions trouvé $\mu \approx 11,21$.
 

Notes	$1$	$2$	$4$	$5$	$8$	$9$	$12$	$14$	$15$	$18$	$19$	$20$
Effectifs	$4$	$3$	$2$	$1$	$1$	$2$	$1$	$3$	$2$	$3$	$2$	$5$
Écarts à $\mu$	$-10,2$	$-9,2$	$-7,2$	$-6,2$	$-3,2$	$-2,2$	$0,8$	$2,8$	$3,8$	$6,8$	$7,8$	$8,8$
Écarts au carré	$104,2$	$84,8$	$51,9$	$38,5$	$10,3$	$4,9$	$0,6$	$7,8$	$14,4$	$46,2$	$60,7$	$77,4$

Puis effectue le calcul final de la même façon qu’avec la moyenne :

• $V=\frac{4\times-10^2+3\times9,2^2+...+5\times8,8^2}{4+3+...+5}$
• On trouve alors $V=52,9$.

Soit la série statistique d’effectif total $n$ et de moyenne $\mu$ suivante :
 

Caractère	$x_1$	$x_2$	...	$x_p$
Effectifs	$n_1$	$n_2$	...	$n_p$

La variance $V$ de la série peut se calculer grâce à la formule :

• $V=\frac1n (n_1x_1^2+n_2x_2^2+...+n_px_p^2)-\mu^2$
• $V=\frac1n\sum_{i=1}^{p}n_ix_i^2 - \mu^2$

Soit une série statistique de variance $V$.
On définit l’écart-type $\sigma$ de cette série comme la racine carrée de sa variance :

• $\sigma = \sqrt V$

Plus les valeurs sont dispersées, plus l’écart-type (et donc aussi la variance) est élevé.

Pour notre exemple, l’écart-type vaut :

• $\sigma = \sqrt V \approx \sqrt {52,9} \approx 7,3$

Ainsi, la classe a une moyenne de $11,21/20$, les notes étant en moyenne éloignées de $7$ au dessus ou en dessous de cette moyenne, ce qui est beaucoup. Cela révèle que, si la moyenne de la classe est correcte, son niveau n’est pas homogène : une part importante de la classe est en difficulté pendant qu’une autre réussi très bien.