undefined - Fiche de révision Afterclasse

Manipuler les diverses représentations d’une série statistique

Une étude sur le nombre d’enfants par famille menée sur 20 familles donne les résultats suivants :

2

;

2

;

1

;

3

;

3

;

2

;

5

;

2

;

2

;

2

;

1

;

3

;

3

;

1

;

1

;

4

;

2

;

2

;

1

;

3

1. Représente cette série statistique par un diagramme en barres.
2. Constitue le tableau de la série statistique.

0

Réordonner les valeurs dans l’ordre croissant

Dans l’ordre croissant, les valeurs obtenues sont :

$1$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$ ; $2$ ; $2$ ; $2$ ; $2$ ; $2$ ; $2$ ; $3$ ; $3$ ; $3$ ; $3$ ; $3$ ; $4$ ; $5$

Cela permet de voir plus clairement combien de

1

, de

2

, de

3

, de

4

, et de

5

ont été obtenus.

1

Préparer le graphique

Positionne les valeurs sur l’axe des abscisses : ici, cela va de $1$ à $5$
L’axe des ordonnées représente les effectifs, ici le plus grand effectif sera $8$ (pour les familles de 2 enfants), tu peux donc graduer ton axe en fonction.
N’oublie pas de mettre un titre à ton graphique, ainsi qu’une légende pour tes axes.

2

Dessiner les barres

Pour chaque valeur, tu dessines une barre ayant pour hauteur l’effectif correspondant.
Attention, tes barres ne doivent pas se toucher dans le cas d’une série statistique discrète comme ici.

3

Constituer le tableau

Le tableau est constitué de deux lignes : la première rassemble les valeurs (

1

;

2

;

3

;

4

;

5

) et la deuxième les effectifs correspondants.
N’oublie pas les titres de chaque ligne, pour qu’on comprenne de quoi tu parles !

Nombre d’enfants	1	2	3	4	5
Effectifs	5	8	5	1	1

4

Remarques

On peut aussi te donner directement le graphique et te demander de constituer le tableau, ou inversement.
Dans le cas d’une série statistique où les valeurs sont regroupées par classes, il faudra constituer un histogramme avec des colonnes collées les unes aux autres, de largeur correspondant à la largeur de chaque classe.

Calculer la moyenne et l’écart-type d’une série

Une étude visant à étudier la taille des françaises adultes a été menée sur un échantillon de 500 personnes. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

Taille (cm)	[120;130[	[130;140[	[140;150[	[150;160[	[160;170[	[170;180[	[180;190[	[190;200[
Effectif	3	7	34	113	216	98	27	2

1. Calcule la moyenne

\mu

de la série.
2. Calcule l’écart-type

\sigma

de la série statistique et commente tes résultats.

0

Prendre le milieu de chaque classe

Dans le cas, comme ici, d’une série regroupée en classes, il convient d’assimiler chaque classe à son milieu. Celui-ci s’obtient en faisant la demi-somme des extrémités de chaque classe. Par exemple, pour la première classe :

$\frac{130+120}2=125$

Ainsi, nos classes transformése en valeurs valent :

$125$ ; $135$ ; $145$ ; $155$ ; $165$ ; $175$ ; $185$ ; $195$ .

1

Appliquer la formule de la moyenne

Pour calculer la moyenne, il s’agit de

multiplier tour à tour les valeurs avec leurs effectifs correspondants ;
additionner tous ces produits ;
diviser cette somme par l’effectif total ( $500$ ici).

Ici :

$\mu=\frac{3\times125+7\times135+34\times145+113\times155+216\times165+98\times175+27\times185+2\times195}n$
$\mu\approx 1,64$ m

Remarque : si tu as peur de faire une erreur de calcul, tu peux faire ce calcul progressivement en ajoutant une ligne au tableau de la série. Tu y rentres les produits des valeurs avec les effectifs un par un. Tu n’auras plus qu’à faire la somme totale, puis à diviser par l’effectif total.

2

Calculer la variance

Pour calculer l’écart-type, il est nécessaire de connaître la variance de la série. Il est recommandé d’appliquer la formule simplifiée de la variance afin d’alléger les calculs et éviter les erreurs de calcul.

$V=\frac{3\times125^2+7\times135^2+34\times145^2+113\times155^2+216\times165^2+98\times175^2+27\times185^2+2\times195^2}n-\mu^2$
$V\approx117,5$

Remarque : ici aussi, faire un tableau rassemblant des calculs intermédiaires peut s’avérer utile.

3

En déduire l’écart-type de la série

Une fois que tu as la variance, tu as fait le plus dur, il ne te reste plus qu’à prendre la racine pour obtenir l’écart-type !

$\sigma = \sqrt V \approx \sqrt{117,5} \approx 10,8$ cm

Remarque : l’écart-type a la même unité que les valeurs d’origine, c’est pourquoi il est très utile pour l’interprétation du résultat.

4

Interpréter pour conclure

Ainsi, la taille des françaises vaut en moyenne

1,64

m, avec en moyenne des variations de l’ordre de

11

cm autour de cette moyenne. Cette variation étant faible vis-à-vis de la valeur de

\mu

, on peut dire que les valeurs sont peu dispersées, la taille des femmes françaises est donc relativement homogène.

Déterminer la médiane et l’écart interquartile d’une série

On a relevé la température maximale tous les jours pendant le mois d’avril dans une ville et on a constitué la série statistique suivante :

Température (°C)	[8;10[	[10;12[	[12;14[	[14;16[	[16;18[	[18;20[	[20;22[	[22;24[	[24;26[	[26;28[
Effectif	0	1	4	8	8	4	4	0	1	0

1. Détermine la classe médiane, puis la médiane (milieu de cette classe) de cette série.
2. En prenant pour 1^er et 3^e quartile le centre des classes contenant ces quartiles, calcule l’écart interquartile de la série.

0

Calculer l’effectif total et note sa parité

Pour connaître le rang correspondant à la classe médiane, il faut connaître l’effectif total.

Nous avons $n=1+4+8+8+4+4+1=30$ valeurs au total.
L’effectif est pair.

1

Déterminer le rang de la classe médiane

L’effectif étant pair, il nous faut repérer le rang des deux données centrales :

$\frac n2$ et $\frac n2 +1$

Soit ici :

$\frac{30}{2}=15$ et $15+1=16$ .

2

Calculer les effectifs cumulés croissants

Si tu es un peu perdu, il est conseillé de passer par cette étape. Une fois que tu seras habitué, tu pourras t’en passer et le faire de tête, tu gagneras du temps !

Le but est de repérer les 15^e et 16^e valeurs dans la liste des valeurs ordonnées par ordre croissant. Pour cela, nous allons rajouter une ligne au tableau donnant les effectifs cumulés croissants, soit le rang de la dernière valeur de chaque catégorie :

Température (°C)	[10;12[	[12;14[	[14;16[	[16;18[	[18;20[	[20;22[	[22;24[	[24;26[
Effectif	1	4	8	8	4	4	0	1
Effectif cumulé croissant	1	5	13	21	25	29	29	30

Il suffit d’ajouter à chaque fois l’effectif de la classe à l’effectif cumulé précédent.

3

Repérer la classe médiane et en déduire la médiane

La classe médiane est la classe de la 15^e et de la 16^e valeur.

Remarque : si ces deux valeurs ne sont pas dans la même classe, on prend la valeur entre les deux classes, mais dans ce cas, l’énoncé devrait te préciser la marche à suivre.

D’après le tableau, 13 valeurs sont inférieures à $16$ , et 21 sont inférieures à $18$ .
$13<15<21$ donc la classe médiane est $[16;18[$

La médiane est alors le milieu (soit la demi-somme des extrémités) de cette classe :

$m=\frac{16+18}2 = 17$ °C

4

Déterminer les rangs correspondant aux 1^er et 3^e quartiles

Pour le 1^er quartile

Q_1

, on divise l’effectif total par

4

et on arrondit à l’entier supérieur :

$\frac{30}4 = 7,5 \approx 8$

Pour le 3^ème quartile

Q_3

, on calcule les ¾ de l’effectif total, et on arrondit à l’entier supérieur :

$3\times \frac{30}4 = 22,5 \approx 23$

Attention ! Fais toujours le calcul précis en premier, et arrondis après : ne multiplie pas simplement le rang déjà calculé pour $Q_1$ par 3, l’approximation déjà faite peut, une fois multipliée, entrainer une erreur importante (ici, on aurait trouvé $24$ au lieu de $23$ ).

Les rangs de

Q_1

et

Q_3

sont donc respectivement

8

et

23

.

5

Repérer les classes contenant les quartiles et calculer leurs milieux

De la même façon que pour la médiane, on trouve en s’appuyant sur le tableau des effectifs cumulés croissants que :

La classe $[14;16[$ contient $Q_1$ donc $Q_1=\frac{14+16}2 = 15$ °C.
La classe $[18;20$ [ contient $Q_3$ donc $Q_1=\frac{18+20}2 = 19$ °C.

6

En déduire l’écart interquartile $I$

$I=Q_3-Q_1=19-15=4$ °C

7

Conclure

Une conclusion est toujours bien vue par le correcteur, elle montre que tu as compris de quoi tu parlais.

Sur le mois d’avril, dans la ville étudiée, la température maximale médiane est de

m=17

°C, avec un écart interquartile de

I=4

°C qui représente les fluctuations les plus courantes autour de cette température médiane.

Comparer deux séries

Nous reprenons l’étude précédente sur les températures maximales au cours du mois d’avril dans une certaine ville (

m=17

°C,

Q_1=15

°C,

Q_3=19

°C).
Une étude similaire est réalisée dans une autre ville, caractérisée par :

m=15

°C,

Q_1=11

°C,

Q_3=21

°C,

T_{min}=7

,

T_{max}=27

1. Réalise les diagrammes boîte des deux séries

Suite à une erreur, les dossiers se sont mélangés. On sait que les deux villes sont Marseille et Lyon, mais on ne sait pas à laquelle correspond chaque série de valeurs.

2. Sachant que le climat méditerranéen est uniformisé par la présence de la mer et qu’au contraire, le climat continental connaît des températures à la dispersion bien plus importante, et à l’aide de toutes les données disponibles, associe chaque série à sa ville.

0

Préparer les diagrammes

Commence par dessiner les droites graduées au dessus desquelles tu positionneras tes graphiques.

Astuce : pense à vérifier les valeurs minimales et maximales afin d’être certain de pouvoir dessiner ton diagramme en entier.
Ici, les températures oscillent entre

6

°C et

28

°C.

1

Compléter les diagrammes

Il te suffit de positionner les différentes données de la manière suivante :

un trait commence à $T_{min}$ ;
la « boîte » commence à $Q_1$ ;
un trait vertical est positionné au niveau de $m$ ;
la « boîte » s’arrête à $Q_3$ ;
le trait termine $T_{max}$ .

2

Interpréter et conclure

Graphiquement, les deux diagrammes montrent clairement que la deuxième série est beaucoup plus dispersée que la première.
Ceci est confirmé par les écarts interquartile : $I_1=19-15=4$ °C, $I_2=21-11=10$ °C.
Lyon se situant à l’intérieur des terres, la ville doit présenter des températures dont la dispersion est beaucoup plus forte qu’à Marseille dont le climat est régulé par la présence de la mer Méditerranée.
Lyon correspond donc à la seconde série de données, Marseille à la première.

3

Remarque

On aurait aussi pu comparer les deux séries en utilisant le couple (moyenne, écart-type), les conclusions auraient été les mêmes.

4

Bonus

La série de données correspondant à Lyon était à l’origine le tableau suivant :

$T$ (°C)	$[6;8[$	$[8;10[$	$[10;12[$	$[12;14[$	$[14;16[$	$[16;18[$	$[18;20[$	$[20;22[$	$[22;24[$	$[24;26[$	$[26;28[$
Effectif	$1$	$3$	$5$	$4$	$3$	$4$	$2$	$1$	$2$	$4$	$1$

Pour t’entraîner, et en t’aidant éventuellement de l’exercice précédent, essaye de retrouver les bonnes valeurs de

m

,

Q_1

, et

Q_3

!

Utilisation d'une calculatrice Texas Instruments

On utilisera ici une TI-83+.

0

Constituer la série

Accède au menu des statistiques en appuyant sur la touche stats.
Selectionne 1: Édite puis appuie sur Entrer
Saisis les valeurs dans L1 , puis les effectifs dans L2. Il faut appuyer sur entrer entre chaque valeur que tu rentres pour la valider.

1

Lancer le calcul des paramètres de la série

Appuie sur stats : tu reviens alors dans le menu Statistiques.
Sélectionne CALC et 1: Stats 1-Var, entrer.
Inscris L1,L2 (2^nde + 1, 2^nde+ 2), entrer.
Une liste de paramètres s’affiche, dont la moyenne $\bar x$ , l’écart-type $\sigma_x$ ou encore la médiane $MedX$ . Tu peux faire défiler la lister en appuyant sur la flèche vers le bas.

Utilisation d'une calculatrice Casio

On utilisera ici une Graph 35+.

0

Constituer la série

Sélectionne le mode STAT.
Saisis les valeurs dans List1, puis les effectifs dans List2.

1

Lancer le calcul des paramètres de la série

Appuie sur CALC (F6) et SET (F6).
Choisis List1 dans 1Var XList.
Choisis List2 dans 1VAR Freq.
Exit.
Appuie sur 1Var (F1).
Une liste de paramètres s’affiche, dont la moyenne $\bar x$ , l’écart-type $\sigma_x$ ou encore la médiane $Med$ .

Manipuler les diverses représentations d’une série statistique

Réordonner les valeurs dans l’ordre croissant

Préparer le graphique

Dessiner les barres

Constituer le tableau

Remarques

Calculer la moyenne et l’écart-type d’une série

Prendre le milieu de chaque classe

Appliquer la formule de la moyenne

Calculer la variance

En déduire l’écart-type de la série

Interpréter pour conclure

Déterminer la médiane et l’écart interquartile d’une série

Calculer l’effectif total et note sa parité

Déterminer le rang de la classe médiane

Calculer les effectifs cumulés croissants

Repérer la classe médiane et en déduire la médiane

Déterminer les rangs correspondant aux 1er et 3e quartiles

Repérer les classes contenant les quartiles et calculer leurs milieux

En déduire l’écart interquartile III

Conclure

Comparer deux séries

Préparer les diagrammes

Compléter les diagrammes

Interpréter et conclure

Remarque

Bonus

Utilisation d'une calculatrice Texas Instruments

Constituer la série

Lancer le calcul des paramètres de la série

Utilisation d'une calculatrice Casio

Constituer la série

Lancer le calcul des paramètres de la série

Déterminer les rangs correspondant aux 1^er et 3^e quartiles

En déduire l’écart interquartile $I$