Le produit scalaire est très utile dans la détermination d'équations de figures géométriques par sa propriété majeure qui est d'être nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux.
Définition
Vecteur normal à une droite
Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. Soient (d) une droite et n un vecteur.
Pour tout n vecteur normal de (d) quelque soit u, vecteur directeur de (d), n⋅u=0.
Propriété
Équation de droite et vecteur normal
Soit (d) une droite, n(a;b) un vecteur, dans repère orthonormé.
n(a;b) est un vecteur normal de (d)⇔ une équation cartésienne de (d) peut se mettre sous la forme : ax+by+c=0, avec c un réel.
Exemple
Prenons la droite (d) d'équation cartésienne x+2y+3=0. On sait (voir leçon sur la géométrie plane) que le vecteur u(−2;1) est un vecteur directeur de cette droite. Vérifions qu'il est bien orthogonal au vecteur n(1;2).
u⋅n=−2×1+1×2=−2+2=0
Les deux vecteurs sont bien orthogonaux.
n est bien un vecteur normal de (d).
Remarque
Cette astuce permet d'éviter des calculs fastidieux, mais dans certains cas il te faudra revenir à la définition du vecteur normal, et poser l'équation avec pour inconnues les coordonnées du vecteur.
Cette équation est à mettre en perspective avec le résultat sur le vecteur directeur u(−b,a) de toute droite d'équation ax+by+c=0,c∈R.
Propriété
Équation de cercle
Soit C un cercle de centre O(xo;yo) et de rayon R dans un repère orthonormé. Soit M un point du plan.
M(x,y)∈C⇔(x−xo)2+(y−yo)2=R2
C'est l'équation du cercle C.
Propriété
Cercle et diamètre
Soit M un point du plan. Un cercle C peut être décrit simplement par les deux points formant son diamètre, disons A et B. Dans ce cas, il faudra résoudre l'équation suivante :
M∈C⇔MA⋅MB=0
Remarque
Cela traduit directement le fait que tout triangle inscrit dans un cercle, et dont un des côtés est le diamètre du cercle, est un triangle rectangle ; le diamètre du cercle étant son hypoténuse.
BRésultats sur les triangles
Remarque
Le produit scalaire permet de démontrer plusieurs résultats très utiles sur les triangles permettant de calculer un angle ou une longueur manquante d'un triangle.
Théorème
Théorème de la médiane
Soit un triangle ABC. Soit I le milieu de [BC]. On a :
AB2+AC2=2AI2+2BC2
Exemple
Un randonneur parcourt un sentier reliant une ville A à une ville B. Le sentier fait un détour par un point C, alors qu'il existe une route de 9 km reliant les deux villes de façon directe. Arrivé au point C, le randonneur lit sur un panneau qu'il a parcouru 5 km depuis la ville A, et qu'il lui reste encore 7 km pour atteindre la ville B. Un troisième sentier propose de l'emmener à un arrêt de bus I situé sur la route, à mi chemin entre les deux villes. Quelle distance doit-il marcher pour atteindre I ?
On est dans la bonne situation pour appliquer le théorème de la médiane :
BC2+CA2=2CI2+2AB2
On cherche CI.
⇔2CI2=BC2+CA2−2AB2
⇔CI=2BC2+CA2−4AB2=272+52−492=274−481≈4,1 km
Le randonneur se situe à 4,1 km de l'arrêt de bus.
Remarque
Dans les énoncés de géométrie parlant de médiane ou de distance à un point milieu d'un segment, il faudra que tu aies bien en tête ce résultat, il pourrait beaucoup t'aider.
Propriété
Formule d'Al Kashi
Soit un triangle ABC. On note BC=a, AC=b, et AB=c. On a :
a2=b2+c2−2bccosA^
Remarque
Le résultat est aussi vrai pour les autres côtés (fais « tourner » les lettres dans la formule) :
b2=c2+a2−cacosB^
c2=a2+b2−bccosC^
Pour bien la mémoriser tu dois comprendre la logique de cette formule. Ainsi pour calculer la longueur au carré d'un côté d'un triangle, tu sommes :
les carrés des autres côtés du triangle (comme pour Pythagore) ;
le double du produit de ces deux autres côtés, multiplié au cosinus de l'angle formé par ceux-ci.
Dans le cas d'un triangle rectangle, le cosinus de l'angle droit est nul, on retrouve alors le célèbre théorème de Pythagore.
Exemple
Soit ABC un triangle tel que AB=3, AC=5, A^=60°. Calculons la longueur du côté BC. Selon Al Kashi (on utilise la formule faisant intervenir l'angle que l'on connaît) :
BC2=AC2+AB2−2AC×AB×cosA^
BC2=52+32−2×5×3×cos3π=25+9−30×21=34−15=19
Or, puisque BC étant une longueur, elle est forcément positive :
BC=19≈4,36
Propriété
Formule des sinus
Soit un triangle ABC. On note BC=a, AC=b, et AB=c. On a :
sinA^a=sinB^b=sinC^c
Exemple
Soit le triangle ABC tel que AB=1, BC=2, A^=135°. Calculons la valeur de l'angle C^ du triangle. D'après la formule des sinus :
sinA^BC=sinC^AB
⇔sinC^×sinA^BC=AB
⇔sinC^=AB×BCsinA^=1×2sin43π=21×22=21
Donc
C^=6π ou 65π
Or, on sait que dans un triangle, la somme des trois angles vaut 180° (π rad), comme A^=43π, C^ ne peut pas valoir 65π car 43π+65π=1219π>π : on dépasse π en sommant simplement deux des angles. Donc :
C^=6π
Remarque
Attention à la subtilité de la notation des côtés du triangle : on a noté a le côté opposé à l'angle A^, c'est le côté [BC] qui n'a pas de A dans son nom.
Ainsi, la formule s'écrit : cos(α)=sin(angle)co^teˊopposeˊ.
CTrigonométrie
Remarque
En trigonométrie, le produit scalaire permet de démontrer facilement des résultats fondamentaux sur les fonctions sinus et cosinus.
Formule
Formules d'addition des sinus et cosinus
Soient a et b deux réels. On a :
cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
sin(a−b)=sinacosb−sinbcosa
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
Remarque
Pour retenir :
Pour le cosinus, chacun reste de son côté : les cosinus d'un côté, et les sinus de l'autre. Pour le sinus, on mélange.
Au niveau des signes : le sinus est synchronisé avec le signe dans la parenthèse : sin(a−b) contient un signe « − ». Au contraire, cosinus est en opposition avec le signe dans la parenthèse.
Le signe « − », quand il y en a un, est toujours positionné devant le membre contenant le sinus de l'élément portant le « − » dans la parenthèse, ici le b.
Exemple
Calculons, par exemple, cos12π à l'aide de ces formules :
12π=3π−4π
Donc :
cos12π=cos(3π−4π)
D'où, d'après la première formule :
cos12π=cos3πcos4π+sin3πsin4π
cos12π=21×22+23×22
cos12π=42+423
cos12π=42(1+3)
Remarque
Astuce : à partir de seulement deux de ces formules, tu peux retrouver très vite les deux autres. Il suffit pour cela :
de dire que cos(a−b)=cos(a+(−b)),
d'appliquer la formule connue cos(a+(−b))=cosacos(−b)−sinasin(−b),
et de simplifier rapidement avec sin(−b)=−sinb et cos(−b)=cosb.
Formule
Formules de duplication des sinus et cosinus
Soient a et b deux réels. On a :
cos(2a)=cos2a−sin2a=1−2sin2a=2cos2a−1
sin(2a)=2sinacosa
Remarque
La première formule pour cosinus et la formule pour sinus découlent directement des formules précédentes, en prenant simplement a=b. Il peut toutefois être intéressant de les connaître par cœur, cela te fera économiser du temps.
Les deux autres formules pour cosinus découlent de la première, en y ajoutant le fait que pour tout x réel, sin2x+cos2x=1. Si tu as bien cela en tête, ce n'est pas forcément nécessaire d'apprendre les trois formules pour le cosinus, choisis celle que tu trouves plus facile à retenir !
Exemple
De même que dans l'exemple précédent, calculons sin12π à l'aide de ces formules.
6π=2×12π
Donc :
cos6π=cos(2×12π)
D'où, d'après la formule :
cos6π=1−2sin212π
⇔sin212π=21(1−cos6π)
Or :
cos6π=23
Ainsi, en reportant :
sin212π=21(1−23)
sin212π=42−3
Et, comme 12π∈[0;π], sin12π≥0 d'où :
sin12π=42−3
Pour aller plus loin : tu peux alors montrer que sin12π=42(3−1).