Soient u et v deux vecteurs. On définit le produit scalaire de ces deux vecteurs par :
u⋅v=21(∣∣u+v∣∣2−∣∣u∣∣2−∣∣v∣∣2)
Remarque
Astuce mnémotechnique
Il te sera plus facile de mémoriser la formule comme ceci :
∣∣u+v∣∣2=2u⋅v+∣∣u∣∣2+∣∣v∣∣2
Cette forme est très similaire à une identité remarquable. Il est alors très facile de la réarranger pour trouver la définition du produit scalaire.
Exemple
Soit le triangle ABC tel que : AB=2 ; AC=4 ; BC=3.
AB⋅BC=21(∣∣AB+BC∣∣2−∣∣AB∣∣2−∣∣BC∣∣2)
AB⋅BC=21(∣∣AC∣∣2−∣∣AB∣∣2−∣∣BC∣∣2)
AB⋅BC=21(42−22−32)
AB⋅BC=23
Remarque
Cette formule te servira dans le cas où tu connais :
les normes de tes vecteurs ;
la norme de leur somme vectorielle.
Propriété
Produit scalaire : normes et angle
Soient u et v deux vecteurs non nuls. Soit α=(u;v) l'angle formé par ces deux vecteurs. On a :
u⋅v=∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣cosα
Remarque
Le signe de l'angle n'importe pas puisque la fonction cosinus est paire.
Exemple
Soit le triangle ABC tel que AB=2; AC=4 ; AB;AC^=3π rad.
AB⋅AC=∣∣AB∣∣⋅∣∣AC∣∣cos(AB,AC)
AB⋅AC=2×4×cos3π
AB⋅AC=8×21=4
Remarque
Cette formule est particulièrement utile dans le cas où tu connais :
les normes de tes vecteurs ;
l'angle qu'ils forment.
Propriété
Produit scalaire : coordonnées des vecteurs
Soient u(x;y) et v(x′;y′) deux vecteurs dans un repère orthonormé. L'expression analytique du produit scalaire est la suivante :
u⋅v=xx′+yy′
Remarque
La logique est simple : on parle de produit scalaire = on multiplie une à une les coordonnées des vecteurs, et on additionne les résultats.
Exemple
Soient u(2;3) et v(4;5) deux vecteurs dont les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé.
u⋅v=2×4+3×5=8+15=23
Remarque
Les trois formules présentées ci-dessus découlent les unes des autres, et sont toutes valables pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs. Ce sera à toi de choisir la plus adaptée à chaque situation :
si tu as connaissance de la norme de la somme vectorielle de tes vecteurs, privilégie la première ;
si tu connais l'angle formé par les deux vecteurs, opte pour la seconde ;
si on te donne un repère orthonormé avec les coordonnées des vecteurs (ou des points) plutôt que leurs normes ou l'angle qu'ils forment, choisis d'utiliser la troisième.
BPropriétés
Propriété
Propriétés calculatoires du produit scalaire
Le produit scalaire, pour les calculs, se comporte comme la multiplication « classique ». Soient u, v, et w trois vecteurs. Soit k un réel. On a les propriétés suivantes :
produit avec un vecteur nul : u⋅0=0 ;
symétrie : u⋅v=v⋅u ;
développement et factorisation : u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w ;
Il est intéressant de penser à ces propriétés pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs :
on peut en décomposer un grâce à la relation de Chasles, et se reporter à des produits scalaires avec d'autre vecteurs sur lesquels on a peut-être plus d'informations...
Propriété
Produit scalaire et vecteurs orthogonaux
Soient u et v deux vecteurs non nuls.
u⋅v=0⇔u et v orthogonaux
Exemple
Prenons par exemple deux vecteurs que nous savons orthogonaux (dans un repère orthonormé) : u(1;−1) et v(1;1).
u⋅v=1×1+(−1)×1=1−1=0
On constate que leur produit scalaire est bien nul.
Remarque
Cette propriété est centrale pour cette leçon, il faudra toujours la garder en tête. Elle te permettra de prouver beaucoup de choses et ouvre sur un grand nombre d'applications en géométrie. Note qu'elle fonctionne dans les deux sens.
Le résultat du produit scalaire est un réel et non un vecteur, ne mets pas de flèche au dessus du 0 ! Dans les cas où, par contre, on parle de vecteur nul, il ne faudra pas oublier la flèche...
Propriété
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si AB et CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors :
1er cas, vecteurs de même sens : AB⋅CD=AB×CD
2e cas, vecteurs de sens opposés : AB⋅CD=−AB×CD
Le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires vaut le produit de leurs normes :
produit qui est positif si les deux vecteurs sont de même sens ;
négatif sinon.
Remarque
Cela découle directement de l'expression du produit scalaire en fonction de l'angle formé par les deux vecteurs :
si ceux-ci sont colinéaires, ils forment soit un angle de 0, soit de π, et donc le cosinus de l'angle vaut soit 1 soit −1.
Exemple
Prenons par exemple deux vecteurs que nous savons colinéaires et de même sens (dans un repère orthonormé) : u(1;2) et v(4;8) (v=4×u).
u⋅v=1×4+2×8=20
Or :
∣∣u∣∣=1+4=5
∣∣v∣∣=16+64=80=16×5=45
Donc :
∣∣u∣∣×∣∣v∣∣=4×5×5=20
On a bien :
u⋅v=∣∣u∣∣×∣∣v∣∣.
Propriété
Produit scalaire et norme
Soit u un vecteur. Le carré scalaire de u est égal à sa norme au carré :
u2=∣∣u∣∣2
Remarque
C'est une application directe de la propriété précédente.
Rappel
Projection orthogonale
Soit (d) une droite et M un point n'appartenant pas à cette droite. On appelle « projeté orthogonal » de M sur (d) le point d'intersection H entre (d) et la droite perpendiculaire à (d) passant par M.
Propriété
Produit scalaire : projection orthogonale
Soient A, B, C et D quatre points distincts. Soient H et I respectivement les projetés orthogonaux de C et D sur la droite (AB).
AB⋅CD=AB⋅HI
Remarque
Cela signifie que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit scalaire du premier vecteur avec le projeté orthogonal du second sur le premier.
Remarque
On retrouve que deux vecteurs orthogonaux entre eux auront un produit scalaire nul : si l'on projette un de ces vecteurs sur l'autre, on obtient un point, c'est à dire un segment de longueur nulle.
Cela permet ensuite de se ramener au cas de deux vecteurs colinéaires pour lequel il est très simple de calculer le produit scalaire.
Attention de bien conserver l'ordre des lettres (H est le projeté orthogonal de C, I celui de D, on écrit donc CD et HI), sinon l'égalité devient fausse.
Exemple
Soit ABCD un trapèze droit en A et D tel que AD=2. Calculons BC⋅DA :
comme le trapèze est droit, AD est le projeté de BC sur (AD),
D'où :
AD⋅DA=AD⋅(−AD)
D'où, d'après les propriétés du produit scalaire, :
AD⋅DA=−(AD⋅AD)=−AD2=−AD2=−22=−4
Remarque
Cette propriété te donne un quatrième outil pour calculer les produits scalaires, en plus des trois expressions données en première partie. Il faudra penser à l'utiliser dans les énoncés faisant intervenir des angles droits, des hauteurs, ou des projections orthogonales.