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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Définitions et propriétés du produit scalaire
2
Applications du produit scalaire
À savoir refaire
  • Démontrer une orthogonalité.

    Soient A(−3;0)A(-3;0)A(−3;0), B(3;−2)B(3;-2)B(3;−2), C(−2;−4)C(-2;-4)C(−2;−4), et D(−1;−1)D(-1;-1)D(−1;−1) 4 points du plan rapporté à un repère orthonormé.
    Montre que (AB)(AB)(AB) et (CD)(CD)(CD) sont perpendiculaires.
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      Traduire l’énoncer pour mettre au point la stratégie

      Il faut que ce soit un réflexe : dans un contexte comme celui-ci faisant intervenir des points avec des coordonnées exprimées dans un repère orthonormé, montrer une perpendicularité revient à montrer qu’un produit scalaire de deux vecteurs est nul. 
      • On veut donc montrer que AB⃗⋅CD⃗=0\vec {AB}\cdot \vec {CD}=0AB⋅CD=0.
      • On a les coordonnées des points exprimées dans un repère orthonormé, on va calculer le produit scalaire à partir de son expression analytique.
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      Calculer les coordonnées des vecteurs

      • xAB⃗=xB−xA=3−(−3)=6x_{\vec{AB}}=x_B-x_A=3-(-3)=6xAB​=xB​−xA​=3−(−3)=6
      • yAB⃗=yB−yA=−2−0=−2y_{\vec{AB}}=y_B-y_A=-2-0=-2yAB​=yB​−yA​=−2−0=−2
      • xCD⃗=xD−xC=−1−(−2)=1x_{\vec{CD}}=x_D-x_C=-1-(-2)=1xCD​=xD​−xC​=−1−(−2)=1
      • yCD⃗=yD−yC=−1−(−4)=3y_{\vec{CD}}=y_D-y_C=-1-(-4)=3yCD​=yD​−yC​=−1−(−4)=3
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      Calculer le produit scalaire

      Selon l’expression analytique du produit scalaire, on a :
      • AB⃗⋅CD⃗=xAB⃗⋅xCD⃗+yAB⃗⋅yCD⃗\vec {AB}\cdot \vec {CD}=x_{\vec{AB}}\cdot x_{\vec{CD}}+y_{\vec{AB}}\cdot y_{\vec{CD}}AB⋅CD=xAB​⋅xCD​+yAB​⋅yCD​
      D’où, en remplaçant :
      • AB⃗⋅CD⃗=6×1+(−2)×3=6−6=0\vec {AB}\cdot \vec {CD}=6\times 1+(-2)\times 3=6-6=0AB⋅CD=6×1+(−2)×3=6−6=0
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      Conclure

      • On a prouvé que AB⃗⋅CD⃗=0\vec {AB}\cdot \vec {CD}=0AB⋅CD=0, ce qui équivaut à prouver que les vecteurs AB⃗\vec {AB}AB et CD⃗\vec {CD}CD sont orthogonaux.
      • Ces vecteurs étant respectivement des vecteurs directeurs des droites (AB)(AB)(AB) et (CD)(CD)(CD), on a par conséquent (AB)(AB)(AB) et (CD)(CD)(CD) perpendiculaires.
  • Démontrer un résultat à l’aide des propriétés du produit scalaire.

    Soit un triangle ABCABCABC.
    Montre que AB⃗⋅AC⃗=AB2+AB⃗⋅BC⃗\vec {AB}\cdot \vec {AC}=AB^2+\vec {AB}\cdot\vec {BC}AB⋅AC=AB2+AB⋅BC.
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      Réfléchir à une stratégie

      Il te faut bien observer le résultat que l’on te demande de prouver. Ici, on voit que l’on fait apparaître beaucoup de BBB entre la gauche et la droite de l’équation, et on fait disparaître le vecteur AC⃗\vec {AC}AC.
      Le principe va donc être le suivant : on va séparer en deux le vecteur AC⃗\vec {AC}AC en utilisant la relation de Chasles, puis on va tenter de se reporter au bon résultat en appliquant les propriétés du produit scalaire.
      La majorité des questions de ce type reposent sur l’utilisation bien pensée de la relation vectorielle de Chasles.
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      Utiliser Chasles

      D’après la relation de Chasles, on a :
      • AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅(AB⃗+BC⃗)\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})AB⋅AC=AB⋅(AB+BC)
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      Simplifier avec les propriétés du produit scalaire de manière à retomber sur le bon résultat

      La distributivité du produit scalaire nous donne :
      • AB⃗⋅(AB⃗+BC⃗)=AB⃗⋅AB⃗+AB⃗⋅BC⃗\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})=\vec {AB}\cdot \vec {AB}+\vec {AB}\cdot \vec {BC}AB⋅(AB+BC)=AB⋅AB+AB⋅BC
      Sachant alors que le carré scalaire est égal au carré de la norme d’un vecteur, on obtient :
      • AB⃗⋅(AB⃗+BC⃗)=∣∣AB⃗∣∣2+AB⃗⋅BC⃗\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})=||\vec {AB}||^2+\vec {AB}\cdot \vec {BC}AB⋅(AB+BC)=∣∣AB∣∣2+AB⋅BC
      Soit, plus simplement :
      • AB⃗⋅(AB⃗+BC⃗)=AB2+AB⃗⋅BC⃗\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})=AB^2+\vec {AB}\cdot \vec {BC}AB⋅(AB+BC)=AB2+AB⋅BC
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      Conclure

      On a ainsi prouvé que :
      • AB⃗⋅AC⃗=AB2+AB⃗⋅BC⃗\vec {AB}\cdot \vec {AC}=AB^2+\vec {AB}\cdot\vec {BC}AB⋅AC=AB2+AB⋅BC
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      Pour aller plus loin…

      En général, ce type de question intervient en début d’exercice, et vise à te donner les outils pour pouvoir calculer un produit scalaire.

      Par exemple ici, si tu connaissais les longueurs des trois côtés du triangle, tu n’aurais pas pu calculer le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec {AB}\cdot \vec {AC}AB⋅AC car il t’aurait manqué la valeur de ∣∣AB⃗+AC⃗∣∣||\vec {AB}+\vec {AC}||∣∣AB+AC∣∣.

      Par contre, tu pourrais maintenant le calculer grâce à la relation que l’on a prouvé : il te suffirait de calculer le produit scalaire AB⃗⋅BC⃗\vec {AB}\cdot\vec {BC}AB⋅BC. Celui-ci serait possible à calculer puisque tu connaîtrais alors ∣∣AB⃗+BC⃗∣∣=∣∣AC⃗∣∣||\vec {AB}+\vec {BC}||=||\vec {AC}||∣∣AB+BC∣∣=∣∣AC∣∣.

      Pour t’entraîner, calcule de cette manière AB⃗⋅AC⃗\vec {AB}\cdot \vec {AC}AB⋅AC sachant que AB=2AB=2AB=2, BC=3BC=3BC=3, et ACACAC=6.
      Tu dois trouver 15,515,515,5.
  • Trouver un vecteur normal à une droite définie par une équation cartésienne.

    Soit (d)(d)(d) la droite définie par l’équation y=25x+43y=\frac25 x +\frac 43y=52​x+34​ dans un repère orthonormé.
    Détermine les coordonnées d’un vecteur normal à (d)(d)(d).
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      Remettre l’équation réduite sous la forme ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0

      Le cours nous donne un résultat pratique pour trouver un vecteur normal à partir d’une équation cartésienne de droite, mais seulement si celle-ci est sous la forme ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0.

      L’équation de (d)(d)(d) étant donnée sous forme réduite, il faut la remettre sous la bonne forme.

      Il est conseillé de commencer par supprimer les fractions en multipliant à droite et à gauche par le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs, ici : 3×5=153\times 5 =153×5=15. 
      • y=25x+43⇔15y=15×25x+15×43y=\frac25 x +\frac 43 \Leftrightarrow 15y=15\times \frac25 x +15\times \frac 43y=52​x+34​⇔15y=15×52​x+15×34​
      • ⇔15y=3×2x+5×4\Leftrightarrow 15y=3\times 2 x +5\times 4⇔15y=3×2x+5×4
      • ⇔15y=6x+20\Leftrightarrow 15y=6 x +20⇔15y=6x+20

      Cette étape n’est pas obligatoire, mais elle permet d’obtenir un vecteur normal avec des coordonnées entières au lieu de fractions.
      Il ne reste alors plus qu’à faire tout passer du même côté, et on a l’équation sous la bonne forme :
      • 15y=6x+20⇔6x−15y+20=015y=6 x +20 \Leftrightarrow 6 x -15y+20=015y=6x+20⇔6x−15y+20=0

      La droite (d)(d)(d) admet donc pour équation cartésienne 6x−15y+20=06 x -15y+20=06x−15y+20=0.
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      Déterminer les coordonnées du vecteur

      Le cours nous dit alors que le vecteur n⃗(a;b)\vec n (a ; b)n(a;b) soit ici  n⃗(6;−15)\vec n (6 ; -15)n(6;−15)  est un vecteur normal de la droite (d)(d)(d).
  • Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d’un point et d’un vecteur normal

    Soient trois points du plan muni d’un repère orthonormé : A(−1,2)A(-1,2)A(−1,2), B(1,1)B(1,1)B(1,1), C(2,2)C(2,2)C(2,2).
    Soit HHH le projeté orthogonal de CCC sur (AB)(AB)(AB).
    Détermine une équation cartésienne de la droite (CH)(CH)(CH)
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      Faire un dessin et définir la stratégie

      Le fait de tracer un repère, d’y placer les points et les hypothèses de l’énoncé t’aidera à clarifier la situation, et à mieux comprendre le problème. Cela pourra de plus te révéler des choses auxquelles tu n’aurais pas pensé sans le dessin, et te permettra de vérifier la cohérence de tes résultats.

      Tracer le dessin te montre que le droite (CH)(CH)(CH) est définie par le fait
      • qu’elle passe par CCC,
      • et qu’elle est perpendiculaire à (AB)(AB)(AB).

      Cela te montre aussi la nécessité de vérifier que les 3 points AAA, BBB et CCC ne sont pas alignés : dans ce cas CCC est son propre projeté orthogonal sur (AB)(AB)(AB), et la droite (CH)(CH)(CH) n’existe pas.
      La notion de perpendicularité nous amène à utiliser la notion de vecteur normal pour trouver une équation de la droite.
      Il faudra sûrement exploiter ces deux informations pour trouver une équation de la droite.
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      Vérifier que les points ne sont pas alignés

      Prouver que les 3 points ne sont pas alignés revient à prouver que deux vecteurs distincts formés par ces trois points, par exemple AB⃗\vec {AB}AB et BC⃗\vec {BC}BC ne sont pas colinéaires. Calculons pour cela leurs coordonnées.
      • xAB⃗=xB−xA=1−(−1)=2x_{\vec {AB}}=x_B-x_A=1-(-1)=2xAB​=xB​−xA​=1−(−1)=2
      • xBC⃗=xC−xB=2−1=1x_{\vec {BC}}=x_C-x_B=2-1=1xBC​=xC​−xB​=2−1=1

      Donc :
      • xAB⃗=2xBC⃗x_{\vec {AB}}=2x_{\vec {BC}}xAB​=2xBC​
      Vérifions qu’on n’a pas la même relation sur les ordonnées de ces vecteurs, car dans ce cas on aurait AB⃗=2BC⃗\vec {AB}=2\vec {BC}AB=2BC, et les vecteurs seraient alors colinéaires.
      • yAB⃗=yB−yA=1−2=−1y_{\vec {AB}}=y_B-y_A=1-2=-1yAB​=yB​−yA​=1−2=−1
      • yBC⃗=yC−yB=2−1=1y_{\vec {BC}}=y_C-y_B=2-1=1yBC​=yC​−yB​=2−1=1
      Donc :
      • yAB⃗=−yBC⃗y_{\vec {AB}}=-y_{\vec {BC}}yAB​=−yBC​
      Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les trois points ne sont pas alignés, on peut continuer.
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      Poser l’équation vectorielle

      Lorsque l’on recherche l’équation cartésienne d’une figure plane, il convient de prendre un point M(x;y)M(x;y)M(x;y) du plan appartenant à cette figure, de poser une équation vectorielle traduisant cette appartenance, et de la traduire en équation cartésienne en se ramenant à l’équation induite sur les coordonnées de MMM, faisant ainsi réaparaître xxx et yyy. 
      • M∈(CH)⇔MC⃗M\in (CH) \Leftrightarrow \vec {MC}M∈(CH)⇔MC orthogonal à AB⃗\vec {AB}AB

      On traduit bien ainsi le fait que (CH)(CH)(CH) passe par CCC, et le fait qu’elle est perpendiculaire à (AB)(AB)(AB).

      Lorsqu’une notion d’orthogonalité de deux vecteurs intervient, il faut avoir le réflexe de la traduire par un produit scalaire nul. Soit :
      • M∈(CH)⇔MC⃗⋅AB⃗=0M\in (CH) \Leftrightarrow \vec {MC} \cdot \vec {AB}=0M∈(CH)⇔MC⋅AB=0
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      Se ramener à une équation cartésienne

      En utilisant l’expression analytique du produit scalaire, on obtient :
      • M∈(CH)⇔xMC⃗xAB⃗+yMC⃗yAB⃗=0M\in (CH) \Leftrightarrow x_{\vec {MC}}x_{\vec {AB}}+y_{\vec {MC}}y_{\vec {AB}}=0M∈(CH)⇔xMC​xAB​+yMC​yAB​=0
      • ⇔(xC−x)×2+(yC−y)×(−1)=0\Leftrightarrow (x_C - x)\times2+(y_C - y)\times(-1)=0⇔(xC​−x)×2+(yC​−y)×(−1)=0
      • ⇔2(2−x)−(2−y)=0\Leftrightarrow 2(2 - x)-(2 - y)=0⇔2(2−x)−(2−y)=0
      • ⇔−2x+y+4−2=0\Leftrightarrow -2x+y+4-2=0⇔−2x+y+4−2=0
      • ⇔−2x+y+2=0\Leftrightarrow -2x+y+2=0⇔−2x+y+2=0
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      Conclure

      Ainsi, on a prouvé que −2x+y+2=0-2x+y+2=0−2x+y+2=0 était une équation cartésienne de la droite (CH)(CH)(CH).

      Remarque : toute équation obtenue à partir de celle-ci en multipliant des deux côtés par un même nombre est aussi une équation de (CH)(CH)(CH). Par exemple, 2x−y−2=02x-y-2=02x−y−2=0 en est aussi une (on a multiplié par −1-1−1).
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      Vérifier

      Il est bon dans ce type d’exercice de vérifier ton résultat au brouillon. C’est rapide et ça te permettra de détecter une étourderie éventuelle qui pourrait te coûter beaucoup de points. Pour cela, il suffit d’entrer les coordonnées de CCC dans l’équation trouvée, et s'assurer qu’elle est vérifiée :
      • −2×2+2+2=−4+4=0-2\times2+2+2=-4+4=0−2×2+2+2=−4+4=0

      C'est tout bon !
  • Reconnaître une équation de cercle et en déterminer les caractéristiques.

    Soit EEE l’ensemble des points M(x,y)M(x,y)M(x,y) du plan muni d’un repère orthonormé tels que 2x2+2y2−8x+12y−24=02x^2+2y^2-8x+12y-24=02x2+2y2−8x+12y−24=0.
    Détermine la nature et les caractéristiques de cet ensemble.
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      Mettre au point une stratégie

      Une équation du second degré à deux inconnues doit tout de suite te faire penser à une équation de cercle. Vérifie bien que les coefficients des termes en x2x^2x2 et y2y^2y2 soient égaux.
      C’est le cas ici, nous allons donc tenter de nous ramener à une équation de la forme (x−xo)2+(y−yo)2=R2(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2(x−xo​)2+(y−yo​)2=R2 de façon d’une part à pouvoir affirmer qu’il s’agit bien d’un cercle, et d’autre part en identifier le centre et le rayon.
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      Ramener les coefficients des termes carrés à l’unité

      En divisant des deux côtés par 222, le coefficient des termes carrés, on obtient :
      • 2x2+2y2−8x+12y−24=0⇔x2+y2−4x+6y−12=02x^2+2y^2-8x+12y-24=0 \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y-12=02x2+2y2−8x+12y−24=0⇔x2+y2−4x+6y−12=0
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      Passer à la forme canonique artificiellement

      Il nous faut faire apparaître les termes (x−xo)2(x-x_o)^2(x−xo​)2 et (y−yo)2(y-y_o)^2(y−yo​)2, et disparaître les termes en xxx ou yyy. On utilise pour cela le passage à la forme canonique :
      • x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4x2−4x=(x−2)2−4
      • y2+6y=(y+3)2−9y^2+6y=(y+3)^2-9y2+6y=(y+3)2−9
      Pour rappel, la méthode est la suivante :
      1. je prends pour aaa la moitié du coefficient devant xxx (j’ai ainsi le début de l’identité remarquable (x+a)2=x2+2ax+a2(x+a)^2=x^2+2ax+a^2(x+a)2=x2+2ax+a2),
      2. j’inscris (x+a)2(x+a)^2(x+a)2,
      3. je retire a2a^2a2 qui manquait à l’origine.
      D’où, en reportant dans l’équation :
      • x2+y2−4x+6y−12=0⇔(x−2)2−4+(y+3)2−9−12=0x^2+y^2-4x+6y-12=0 \Leftrightarrow (x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0x2+y2−4x+6y−12=0⇔(x−2)2−4+(y+3)2−9−12=0
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      Réorganiser et conclure

      Il s’agit alors de réorganiser les termes pour pouvoir les identifier un à un avec la forme de l’équation donnée dans le cours.
      • (x−2)2−4+(y+3)2−9−12=0⇔(x−2)2+(y−(−3))2=12+4+9=25=52(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-(-3))^2=12+4+9=25=5^2(x−2)2−4+(y+3)2−9−12=0⇔(x−2)2+(y−(−3))2=12+4+9=25=52
      Ainsi, nous avons prouvé qu’une autre équation de EEE est :
      • (x−2)2+(y−(−3))2=52(x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2(x−2)2+(y−(−3))2=52
      On en déduit que EEE est le cercle de centre Ω(2,−3)\Omega (2,-3)Ω(2,−3), et de rayon R=5R=5R=5.
  • Déterminer une équation de cercle défini par un diamètre.

    Soient deux points du plan muni d’un repère orthonormé : A(−1,2)A(-1,2)A(−1,2), et B(1,1)B(1,1)B(1,1).
    Soit CCC le cercle de diamètre [AB][AB][AB].
    Détermine une équation du cercle CCC.
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      Définir la stratégie

      Le cours nous indique que dans le cas d’un cercle défini par un diamètre, il faut utiliser le fait que :
      • M(x,y)∈C⇔MA⃗⋅MB⃗=0M(x,y)\in C \Leftrightarrow \vec {MA}\cdot \vec {MB}=0M(x,y)∈C⇔MA⋅MB=0
      En effet, [AB][AB][AB] étant un diamètre du cercle, si MMM est sur celui-ci, le triangle ABMABMABM est alors rectangle en M, d’où la nullité du produit scalaire ci-dessus.

      Nous allons donc nous appuyer sur cette propriété,, et la transformer grâce à une expression adéquate du produit scalaire, ce qui nous permettra de trouver une équation du cercle.
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      Utiliser l’expression du produit scalaire adéquate

      Nous sommes dans un repère orthonormé, on cherche une équation cartésienne, on va forcément utiliser l’expression analytique du produit scalaire :
      • MA⃗⋅MB⃗=xMA⃗xMB⃗+yMA⃗yMB⃗\vec {MA}\cdot \vec {MB}=x_{\vec {MA}}x_{\vec {MB}}+y_{\vec {MA}}y_{\vec {MB}}MA⋅MB=xMA​xMB​+yMA​yMB​
      Or :
      • xMA⃗=xA−xx_{\vec {MA}}=x_A-xxMA​=xA​−x
      • xMB⃗=xB−xx_{\vec {MB}}=x_B-xxMB​=xB​−x
      • yMA⃗=yA−yy_{\vec {MA}}=y_A-yyMA​=yA​−y
      • yMB⃗=yB−yy_{\vec {MB}}=y_B-yyMB​=yB​−y
      D’où, en remplaçant :
      • MA⃗⋅MB⃗=(xA−x)(xB−x)+(yA−y)(yB−y)\vec {MA}\cdot \vec {MB}=(x_A-x)(x_B-x)+(y_A-y)(y_B-y)MA⋅MB=(xA​−x)(xB​−x)+(yA​−y)(yB​−y)
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      Remplacer par les valeurs et simplifier

      • MA⃗⋅MB⃗=(−1−x)(1−x)+(2−y)(1−y)\vec {MA}\cdot \vec {MB}=(-1-x)(1-x)+(2-y)(1-y)MA⋅MB=(−1−x)(1−x)+(2−y)(1−y)
      • MA⃗⋅MB⃗=−1+x−x+x2+2−2y−y+y2\vec {MA}\cdot \vec {MB}=-1+x-x+x^2+2-2y-y+y^2MA⋅MB=−1+x−x+x2+2−2y−y+y2
      • MA⃗⋅MB⃗=x2+y2−3y+1\vec {MA}\cdot \vec {MB}=x^2+y^2-3y+1MA⋅MB=x2+y2−3y+1
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      Conclure

      On a alors :
      • M(x,y)∈C⇔MA⃗⋅MB⃗=0M(x,y)\in C \Leftrightarrow \vec {MA}\cdot \vec {MB}=0M(x,y)∈C⇔MA⋅MB=0
      • ⇔x2+y2−3y+1=0\Leftrightarrow x^2+y^2-3y+1=0⇔x2+y2−3y+1=0
      x2+y2−3y+1=0x^2+y^2-3y+1=0x2+y2−3y+1=0 est donc une équation de notre cercle définit par son diamètre ∣AB]|AB]∣AB].
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      Bonus

      Pour t’entraîner, tu peux ramener cette équation sous la forme canonique (voir exercice précédent), et retrouver les caractéristiques du cercle. Tu devrais tomber sur Ω(0;1,5)\Omega (0;1,5)Ω(0;1,5) pour le centre (milieu de [AB][AB][AB]), et R=AB2=52R=\frac{AB}2=\frac{\sqrt 5}2R=2AB​=25​​ pour le rayon.
  • Utiliser les relations entre les angles et les côtés d’un triangle.

    Soit un triangle ABCABCABC tel que AB=10AB=10AB=10, BAC^=45\hat {BAC} = 45BAC^=45° et ACB^=60\hat {ACB} = 60ACB^=60°
    1. Donne un arrondi, à 0,10,10,1 près de la distance BCBCBC.
    2. Donne un arrondi, à 0,10,10,1 près de la distance ACACAC.
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      Faire la figure

      Un tel énoncé est très abstrait, et il est difficile de se le représenter fidèlement dans sa tête. Le mieux est de faire une figure. Celle-ci te permettra de saisir la logique interne de l’exercice.
      Ici, on fixe un triangle à l’aide de deux angles et de la longueur d’un côté (trois données, quelles qu’elles soient suffisent à définir entièrement un triangle), on va chercher à retrouver la longueur des deux autres côtés à partir de ces données à l’aide des formules d’Al Kashi et de la formule des sinus.
      La figure, si elle est bien faite, te permettra de plus de vérifier tes résultats.
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      Choisir la bonne formule

      La difficulté de ce type d’énoncé est de réussir à déterminer quel résultat utiliser (Al Kashi, ou relation des sinus ?).
      Le mieux alors consiste à réécrire ces deux formules de façon à obtenir ce qu’on recherche ici : une longueur. On en déduira facilement quelles données sont nécessaires pour chaque formules, ce qui nous permettra de choisir laquelle utiliser dans chaque situation.

      Al Kashi :
      • a2=b2+c2−2abcos⁡A^a^2=b^2+c^2-2ab\cos{\hat A}a2=b2+c2−2abcosA^
      On a besoin de l’angle opposé au côté recherché et des deux côtés adjacents à cet angle.

      Formule des sinus :
      • asin⁡A^=bsin⁡B^⇔a=bsin⁡A^sin⁡B^\frac {a}{\sin \hat A}=\frac b{\sin \hat B} \Leftrightarrow a=\frac {b \sin \hat A}{\sin \hat B}sinA^a​=sinB^b​⇔a=sinB^bsinA^​
      On a besoin d’un côté et de deux angles.

      Pour la première question, nous connaissons deux angles et une longueur, nous allons donc utiliser la formule des sinus.
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      Appliquer la formule

      Attention, cette étape est délicate, il ne faut pas se tromper en réécrivant la formule avec les données de l’énoncé : ce qu’on appelle « aaa » est le côté opposé à l’angle A^\hat AA^.

      Selon la formule des sinus, nous avons ici (on prend la partie de la formule faisant intervenir le côté recherché BCBCBC, et celui connu ABABAB) :
      • ABsin⁡C^=BCsin⁡A^\frac {AB}{\sin \hat C}=\frac {BC}{\sin \hat A}sinC^AB​=sinA^BC​
      Soit, en arrangeant :
      • ⇔BC<