Il faut que ce soit un réflexe : dans un contexte comme celui-ci faisant intervenir des points avec des coordonnées exprimées dans un repère orthonormé, montrer une perpendicularité revient à montrer qu’un produit scalaire de deux vecteurs est nul. 

• On veut donc montrer que $\vec {AB}\cdot \vec {CD}=0$.
• On a les coordonnées des points exprimées dans un repère orthonormé, on va calculer le produit scalaire à partir de son expression analytique.

Selon l’expression analytique du produit scalaire, on a :

• $\vec {AB}\cdot \vec {CD}=x_{\vec{AB}}\cdot x_{\vec{CD}}+y_{\vec{AB}}\cdot y_{\vec{CD}}$

D’où, en remplaçant :

• $\vec {AB}\cdot \vec {CD}=6\times 1+(-2)\times 3=6-6=0$

D’après la relation de Chasles, on a :

• $\vec {AB}\cdot \vec {AC}=\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})$

La distributivité du produit scalaire nous donne :

• $\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})=\vec {AB}\cdot \vec {AB}+\vec {AB}\cdot \vec {BC}$

Sachant alors que le carré scalaire est égal au carré de la norme d’un vecteur, on obtient :

• $\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})=||\vec {AB}||^2+\vec {AB}\cdot \vec {BC}$

Soit, plus simplement :

• $\vec {AB}\cdot (\vec {AB}+\vec {BC})=AB^2+\vec {AB}\cdot \vec {BC}$

On a ainsi prouvé que :

• $\vec {AB}\cdot \vec {AC}=AB^2+\vec {AB}\cdot\vec {BC}$

Le cours nous donne un résultat pratique pour trouver un vecteur normal à partir d’une équation cartésienne de droite, mais seulement si celle-ci est sous la forme $ax+by+c=0$.

L’équation de $(d)$ étant donnée sous forme réduite, il faut la remettre sous la bonne forme.

Il est conseillé de commencer par supprimer les fractions en multipliant à droite et à gauche par le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs, ici : $3\times 5 =15$. 

• $y=\frac25 x +\frac 43 \Leftrightarrow 15y=15\times \frac25 x +15\times \frac 43$
• $\Leftrightarrow 15y=3\times 2 x +5\times 4$
• $\Leftrightarrow 15y=6 x +20$

Cette étape n’est pas obligatoire, mais elle permet d’obtenir un vecteur normal avec des coordonnées entières au lieu de fractions.
Il ne reste alors plus qu’à faire tout passer du même côté, et on a l’équation sous la bonne forme :

• $15y=6 x +20 \Leftrightarrow 6 x -15y+20=0$

La droite $(d)$ admet donc pour équation cartésienne $6 x -15y+20=0$.

Le cours nous dit alors que le vecteur $\vec n (a ; b)$ soit ici  $\vec n (6 ; -15)$  est un vecteur normal de la droite $(d)$.

Le fait de tracer un repère, d’y placer les points et les hypothèses de l’énoncé t’aidera à clarifier la situation, et à mieux comprendre le problème. Cela pourra de plus te révéler des choses auxquelles tu n’aurais pas pensé sans le dessin, et te permettra de vérifier la cohérence de tes résultats.

Tracer le dessin te montre que le droite $(CH)$ est définie par le fait

• qu’elle passe par $C$,
• et qu’elle est perpendiculaire à $(AB)$.

Cela te montre aussi la nécessité de vérifier que les 3 points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés : dans ce cas $C$ est son propre projeté orthogonal sur $(AB)$, et la droite $(CH)$ n’existe pas.
La notion de perpendicularité nous amène à utiliser la notion de vecteur normal pour trouver une équation de la droite.
Il faudra sûrement exploiter ces deux informations pour trouver une équation de la droite.

Prouver que les 3 points ne sont pas alignés revient à prouver que deux vecteurs distincts formés par ces trois points, par exemple $\vec {AB}$ et $\vec {BC}$ ne sont pas colinéaires. Calculons pour cela leurs coordonnées.

• $x_{\vec {AB}}=x_B-x_A=1-(-1)=2$
• $x_{\vec {BC}}=x_C-x_B=2-1=1$

Donc :

• $x_{\vec {AB}}=2x_{\vec {BC}}$

Vérifions qu’on n’a pas la même relation sur les ordonnées de ces vecteurs, car dans ce cas on aurait $\vec {AB}=2\vec {BC}$, et les vecteurs seraient alors colinéaires.

• $y_{\vec {AB}}=y_B-y_A=1-2=-1$
• $y_{\vec {BC}}=y_C-y_B=2-1=1$

Donc :

• $y_{\vec {AB}}=-y_{\vec {BC}}$

Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les trois points ne sont pas alignés, on peut continuer.

Lorsque l’on recherche l’équation cartésienne d’une figure plane, il convient de prendre un point $M(x;y)$ du plan appartenant à cette figure, de poser une équation vectorielle traduisant cette appartenance, et de la traduire en équation cartésienne en se ramenant à l’équation induite sur les coordonnées de $M$, faisant ainsi réaparaître $x$ et $y$. 

• $M\in (CH) \Leftrightarrow \vec {MC}$ orthogonal à $\vec {AB}$

On traduit bien ainsi le fait que $(CH)$ passe par $C$, et le fait qu’elle est perpendiculaire à $(AB)$.

Lorsqu’une notion d’orthogonalité de deux vecteurs intervient, il faut avoir le réflexe de la traduire par un produit scalaire nul. Soit :

• $M\in (CH) \Leftrightarrow \vec {MC} \cdot \vec {AB}=0$

En utilisant l’expression analytique du produit scalaire, on obtient :

• $M\in (CH) \Leftrightarrow x_{\vec {MC}}x_{\vec {AB}}+y_{\vec {MC}}y_{\vec {AB}}=0$
• $\Leftrightarrow (x_C - x)\times2+(y_C - y)\times(-1)=0$
• $\Leftrightarrow 2(2 - x)-(2 - y)=0$
• $\Leftrightarrow -2x+y+4-2=0$
• $\Leftrightarrow -2x+y+2=0$

Ainsi, on a prouvé que $-2x+y+2=0$ était une équation cartésienne de la droite $(CH)$.

Remarque : toute équation obtenue à partir de celle-ci en multipliant des deux côtés par un même nombre est aussi une équation de $(CH)$. Par exemple, $2x-y-2=0$ en est aussi une (on a multiplié par $-1$).

Il est bon dans ce type d’exercice de vérifier ton résultat au brouillon. C’est rapide et ça te permettra de détecter une étourderie éventuelle qui pourrait te coûter beaucoup de points. Pour cela, il suffit d’entrer les coordonnées de $C$ dans l’équation trouvée, et s'assurer qu’elle est vérifiée :

• $-2\times2+2+2=-4+4=0$

C'est tout bon !

Une équation du second degré à deux inconnues doit tout de suite te faire penser à une équation de cercle. Vérifie bien que les coefficients des termes en $x^2$ et $y^2$ soient égaux.
C’est le cas ici, nous allons donc tenter de nous ramener à une équation de la forme $(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2$ de façon d’une part à pouvoir affirmer qu’il s’agit bien d’un cercle, et d’autre part en identifier le centre et le rayon.

En divisant des deux côtés par $2$, le coefficient des termes carrés, on obtient :

• $2x^2+2y^2-8x+12y-24=0 \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y-12=0$

Il nous faut faire apparaître les termes $(x-x_o)^2$ et $(y-y_o)^2$, et disparaître les termes en $x$ ou $y$. On utilise pour cela le passage à la forme canonique :

• $x^2-4x=(x-2)^2-4$
• $y^2+6y=(y+3)^2-9$

Pour rappel, la méthode est la suivante :

1. je prends pour $a$ la moitié du coefficient devant $x$ (j’ai ainsi le début de l’identité remarquable $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$),
2. j’inscris $(x+a)^2$,
3. je retire $a^2$ qui manquait à l’origine.

D’où, en reportant dans l’équation :

• $x^2+y^2-4x+6y-12=0 \Leftrightarrow (x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0$

Il s’agit alors de réorganiser les termes pour pouvoir les identifier un à un avec la forme de l’équation donnée dans le cours.

• $(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-(-3))^2=12+4+9=25=5^2$

Ainsi, nous avons prouvé qu’une autre équation de $E$ est :

• $(x-2)^2+(y-(-3))^2=5^2$

On en déduit que $E$ est le cercle de centre $\Omega (2,-3)$, et de rayon $R=5$.

Le cours nous indique que dans le cas d’un cercle défini par un diamètre, il faut utiliser le fait que :

• $M(x,y)\in C \Leftrightarrow \vec {MA}\cdot \vec {MB}=0$

En effet, $[AB]$ étant un diamètre du cercle, si $M$ est sur celui-ci, le triangle $ABM$ est alors rectangle en M, d’où la nullité du produit scalaire ci-dessus.

Nous allons donc nous appuyer sur cette propriété,, et la transformer grâce à une expression adéquate du produit scalaire, ce qui nous permettra de trouver une équation du cercle.

Nous sommes dans un repère orthonormé, on cherche une équation cartésienne, on va forcément utiliser l’expression analytique du produit scalaire :

• $\vec {MA}\cdot \vec {MB}=x_{\vec {MA}}x_{\vec {MB}}+y_{\vec {MA}}y_{\vec {MB}}$

Or :

• $x_{\vec {MA}}=x_A-x$
• $x_{\vec {MB}}=x_B-x$
• $y_{\vec {MA}}=y_A-y$
• $y_{\vec {MB}}=y_B-y$

D’où, en remplaçant :

• $\vec {MA}\cdot \vec {MB}=(x_A-x)(x_B-x)+(y_A-y)(y_B-y)$

On a alors :

• $M(x,y)\in C \Leftrightarrow \vec {MA}\cdot \vec {MB}=0$
• $\Leftrightarrow x^2+y^2-3y+1=0$

$x^2+y^2-3y+1=0$ est donc une équation de notre cercle définit par son diamètre $|AB]$.

Pour t’entraîner, tu peux ramener cette équation sous la forme canonique (voir exercice précédent), et retrouver les caractéristiques du cercle. Tu devrais tomber sur $\Omega (0;1,5)$ pour le centre (milieu de $[AB]$), et $R=\frac{AB}2=\frac{\sqrt 5}2$ pour le rayon.

La difficulté de ce type d’énoncé est de réussir à déterminer quel résultat utiliser (Al Kashi, ou relation des sinus ?).
Le mieux alors consiste à réécrire ces deux formules de façon à obtenir ce qu’on recherche ici : une longueur. On en déduira facilement quelles données sont nécessaires pour chaque formules, ce qui nous permettra de choisir laquelle utiliser dans chaque situation.

Al Kashi :

• $a^2=b^2+c^2-2ab\cos{\hat A}$

On a besoin de l’angle opposé au côté recherché et des deux côtés adjacents à cet angle.

Formule des sinus :

• $\frac {a}{\sin \hat A}=\frac b{\sin \hat B} \Leftrightarrow a=\frac {b \sin \hat A}{\sin \hat B}$

On a besoin d’un côté et de deux angles.

Pour la première question, nous connaissons deux angles et une longueur, nous allons donc utiliser la formule des sinus.

Attention, cette étape est délicate, il ne faut pas se tromper en réécrivant la formule avec les données de l’énoncé : ce qu’on appelle « $a$ » est le côté opposé à l’angle $\hat A$.

Selon la formule des sinus, nous avons ici (on prend la partie de la formule faisant intervenir le côté recherché $BC$, et celui connu $AB$) :

• $\frac {AB}{\sin \hat C}=\frac {BC}{\sin \hat A}$

Soit, en arrangeant :

• $\Leftrightarrow BC=\frac {AB \sin \hat A}{\sin \hat C}$

Remplacer avec les valeurs de l’énoncé et arrondir le résultat

• $BC=\frac {AB \sin \hat A}{\sin \hat C}=\frac {10 \sin 45}{\sin 60}$
• $BC=\frac {10 \times \frac {\sqrt 2}2}{\frac {\sqrt 3}2}=\frac {10 \times \sqrt 2}{\sqrt 3}\approx 8,2$

Attention de ne pas te mélanger entre degré et radians, si tu utilises la calculatrice pour calculer les sinus, vérifie qu’elle soit bien réglée.
Pense à compléter ta figure, ça t’aidera à réfléchir pour la suite.

Maintenant que nous connaissons deux côtés du triangle, il nous est possible d’appliquer Al Kashi.

Selon Al Kashi :

• $AC^2=BC^2+AB^2-2BC\times AB\cos{\hat B}$

D’où ($AC$ étant une distance, on sait qu’elle est positive) :

• $AC=\sqrt {BC^2+AB^2-2BC\times AB\cos{\hat B}}$

Or, on sait que dans un triangle la somme des angles vaut $180$°, donc

• $\hat B = 180 - \hat A - \hat C = 180-45-60=180-105=75$°

D’où en remplaçant avec les valeurs :

• $AC=\sqrt {8,2^2+10^2-2\times 8,2\times 10\cos{ 75}}$
• $AC \approx 11,2$

Il faut faire particulièrement attention à bien lire l’énoncé lorsqu’il contient les mots « en déduire ». Ceux-ci peuvent paraître quelconques, ils t'exposent pourtant la logique de l’exercice. Ils t’indiquent quand les questions sont liées entre elles, quand il faut utiliser un résultat déjà prouvé pour répondre à une question.
Ici, typiquement, on comprend dans la première question, qu’on cherche à te faire utiliser le fait que $\frac {\pi}6+\frac {\pi}4=\frac {5\pi}{12}$ pour calculer $\cos {\frac {5\pi}{12}}$  par le biais de la formule de $\cos {(a+b)}$.

• $\frac {\pi}6+\frac {\pi}4 = \frac {2\pi}{12}+\frac {3\pi}{12}=\frac {5\pi}{12}$

C’est bien ce que l’on s’attendait à trouver.

On a alors :

• $\cos {\frac {5\pi}{12}}=\cos {(\frac {\pi}6+\frac {\pi}4)}$

Or, d’après la formule d’addition du cosinus (en prenant $a=\frac {\pi}6$ et $b=\frac {\pi}4$) :

• $\cos {(\frac {\pi}6+\frac {\pi}4)}=\cos{\frac {\pi}6}\cos{\frac {\pi}4}-\sin{\frac {\pi}6}\sin{\frac {\pi}4}$

Soit :

• $\cos {\frac {5\pi}{12}}=\frac {\sqrt 3}2 \times \frac {\sqrt 2}2-\frac 12 \times \frac {\sqrt 2}2= \frac {\sqrt 3 \times \sqrt 2}4- \frac {\sqrt 2}4$
• $\cos {\frac {5\pi}{12}}=\frac {\sqrt 2 (\sqrt 3-1) }4$

• $\cos {\frac {5\pi}{12}}=\cos {2 \times \frac {5\pi}{24}}$

Or, d’après la formule de cours :

• $\cos {(2 \times \frac {5\pi}{24})}=2\cos^2(\frac {5\pi}{24})-1$
• $\Leftrightarrow \cos^2(\frac {5\pi}{24})=\frac 12(\cos {( \frac {5\pi}{12})}+1)$
• $\Leftrightarrow \cos(\frac {5\pi}{24})=\sqrt{\frac 12(\cos {( \frac {5\pi}{12})}+1)}$

Il ne faut pas perdre ici de vue que la question 2 commençait par « en déduire », et il faut tout de suite penser à mobiliser la question précédente.

Selon le résultat prouvé précédemment, on a alors :

• $\cos(\frac {5\pi}{24})=\sqrt{\frac 12(\frac {\sqrt 2 (\sqrt 3-1) }4+1)}$

Simplifions pour retrouver la forme demandée.

• $\cos(\frac {5\pi}{24})=\sqrt{\frac 18( \sqrt 2 (\sqrt 3-1) +4)}$
• $\cos(\frac {5\pi}{24})=\frac1{\sqrt 8}\sqrt{\sqrt 2 (\sqrt 3-1) +4}$
• $\cos(\frac {5\pi}{24})=\frac {\sqrt 2}{\sqrt {16}}\sqrt{\sqrt 2 (\sqrt 3-1) +4}$
• $\cos(\frac {5\pi}{24})=\frac {\sqrt 2}{4}\sqrt{\sqrt 2 (\sqrt 3-1) +4}$

C'est bien ce qu'il fallait démontrer, tout va bien !