CHAPITRE

Accueil
Exercices
Fiches de cours
0 pts
 
Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Définitions et propriétés du produit scalaire
2
Applications du produit scalaire
Formules et Théorèmes

  • Produit scalaire : normes

    Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs.
    u⃗⋅v⃗=12(∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2)\vec u \cdot \vec v = \frac12 ( ||\vec u+\vec v||^2-||\vec u||^2-||\vec v||^2)

  • Produit scalaire : normes et angle

    Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs non nuls.
    Soit α=(u⃗,v⃗)\alpha=(\vec u , \vec v) l’angle formé par ces deux vecteurs.
    u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣cos⁡α\vec u \cdot \vec v =||\vec u||\cdot ||\vec v||\cos{\alpha}

  • Produit scalaire : coordonnées des vecteurs

    Soient u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') deux vecteurs dans un repère orthonormé.
    u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v =xx'+yy'

  • Propriétés calculatoires du produit scalaire

    Soient u⃗\vec u, v⃗\vec v, et w⃗\vec w  trois vecteurs.
    Soit kk un réel.
    u⃗⋅0⃗=0\vec u \cdot \vec 0 = 0
    u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u
    u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w
    u⃗⋅(kv⃗)=k×(u⃗⋅v⃗)=(ku⃗)⋅v⃗\vec u \cdot (k\vec v)=k\times(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v
    (u⃗+v⃗)2=u⃗2+2u⃗⋅v⃗+v⃗2(\vec u +\vec v)^2=\vec u^2 +2\vec u\cdot \vec v+ \vec v^2

  • Produit scalaire et vecteurs orthogonaux

    Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs non nuls.
    u⃗⋅v⃗=0⇔u⃗\vec u\cdot \vec v=0 \Leftrightarrow \vec u et v⃗\vec v orthogonaux

  • Produit scalaire et vecteurs colinéaires

    Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs colinéaires non nuls.
    u⃗\vec u et v⃗\vec v de même sens
    u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣\vec u\cdot \vec v=||\vec u||\cdot ||\vec v||

    u⃗\vec u et v⃗\vec v de sens contraires
    u⃗⋅v⃗=−∣∣u⃗∣∣⋅∣∣v⃗∣∣\vec u\cdot \vec v=-||\vec u||\cdot ||\vec v||

  • Produit scalaire et norme

    Soit u⃗\vec u un vecteur.
    u⃗⋅u⃗=u⃗2=∣∣u⃗∣∣2\vec u\cdot \vec u = \vec u^2 =||\vec u||^2

  • Produit scalaire : projection orthogonale

    Soient AA, BB, CC et DD quatre points distincts.
    Soient HH et II respectivement les projetés orthogonaux de CC et DD sur la droite (AB)(AB).
    AB⃗⋅CD⃗=AB⃗⋅HI⃗\vec {AB} \cdot \vec{CD}=\vec{AB}\cdot \vec{HI}

  • Équation de droite et vecteur normal

    Soient (d)(d) une droite et n⃗(a;b)\vec n (a;b) un vecteur dans un repère orthonormé.
    Soit cc un réel.
    n(a;b)n (a;b) vecteur normal de (d)(d)
    ⇔\Leftrightarrow
    ax+by+c=0ax+by+c=0 est une équation cartésienne de (d)(d).

  • Équation de cercle

    Soit CC un cercle de centre O(xo;yo)O(x_o;y_o) et de rayon RR dans un repère orthonormé.
    Soit MM un point du plan.
    M(x,y)∈C⇔(x−xo)2+(y−yo)2=R2M(x,y) \in C \Leftrightarrow (x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2

  • Théorème de la médiane

    Soit un triangle ABCABC.
    Soit II le milieu de [BC][BC].
    AB2+AC2=2AI2+BC22AB^2+AC^2=2AI^2+\frac{BC^2}2

  • Formule d’Al-Kashi

    Soit un triangle ABCABC.
    On note BC=aBC=a, AC=bAC=b, et AB=cAB=c.
    a2=b2+c2−bccos⁡A^a^2=b^2+c^2-bc\cos {\hat {A}}

  • Formule des sinus

    Soit un triangle ABC.
    On note BC=aBC=a, AC=bAC=b, et AB=cAB=c.
    asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^\frac a{\sin {\hat A}} = \frac b{\sin {\hat B}} = \frac c{\sin {\hat C}}

  • Formules d’addition des sinus et cosinus

    Soient aa et bb deux réels.
    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos {(a-b)}=\cos a \cos b + \sin a \sin b
    cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos {(a+b)}=\cos a \cos b - \sin a \sin b
    sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−sin⁡bcos⁡a\sin {(a-b)}=\sin a \cos b - \sin b \cos a
    sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\sin {(a+b)}=\sin a \cos b + \sin b \cos a

  • Formules de duplication des sinus et cosinus

    Soient aa et bb deux réels.
    cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=1−2sin⁡2a=2cos⁡2a−1\cos{(2a)}=\cos ^2a - \sin ^2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1
    sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a\sin {(2a)}=2\sin a \cos a
Logo d'Afterclasse
Niveau 3ème >
FrançaisHistoireGéographieMathématiquesSVTPhysique-ChimieEspagnolMentions légales
Mes enfants
Fermer
6ème5ème4ème3ème2ndePremièreTerminale
Mon Profil
Nom d'utilisateur
Prénom
Nom
Date de naissance
Niveau
Email
Email des Parents
Mon Profil
Prénom
Nom
Matière
Email
Mon Profil
Prénom
Nom
Email
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.