Un vecteur non nul $\vec{u}$ est vecteur directeur d’une droite $d$ si et seulement si il existe deux points $A$ et $B$ de $d$ tels que :

• $\vec{u}=\vec{AB}$

D’après la définition, une droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

Soit $d$ une droite dont un vecteur directeur est $\vec{u}$.
Soit $d{'}$ une droite dont un vecteur directeur est $\vec{v}$.

Les droites $d$ et $d{'}$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l’ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires.

Toute droite $d$ a une équation de la forme :

• $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\neq(0;0)$.

Une telle équation s’appelle une équation cartésienne de $d$.

Soit $d$ une droite passant par $A(1;2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1;3)$
$M(x;y) \in d$. Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires :

• $\Leftrightarrow (x-1)\times(-1)-3\times(y-2)=0$
• $\Leftrightarrow -x+1-3y+6=0$
• $\Leftrightarrow -x-3y+7=0$

Une équation cartésienne de $d$ est : $-x-3y+7=0$.

Soit $d$ une droite d’équation $2x -3y+1=0$. On a ici :

• $a = 2$ ;
• $b = -3$ ;
• $c = 1$.

Un vecteur directeur de $d$ est donc :

• $\vec{u}(3 ; 2)$.

Soient $d$ une droite d’équation $ax+by+c=0$ et $d{'}$ une droite d’équation $a'x+b'y+c'=0$.

• $d$ et $d{'}$ sont parallèles si et seulement si les couples $(a;b)$ et $(a{'};b{'})$ sont proportionnels.

Soient les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ d’équations respectives :
$2x-3y+1=0$, $-4x+6y+3=0$et $4x+5y-2=0$.

• Les couples $(2;-3)$ et $(-4;6)$ sont proportionnels, donc $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
• Les couples $(2;-3)$ et $(4;5)$ ne sont pas proportionnels, donc $d_1$ et $d_3$ ne sont pas parallèles.

Soit $d$ une droite d’équation $ax+by+c=0$  avec $(a;b)\neq(0;0)$.

Si $b = 0$, alors $d$ est une droite parallèle à l’axe des ordonnées, qui admet une équation réduite de la forme :

• $x = k$, où $k$ est un réel.

Le vecteur $\vec{u}(0;1)$ est un vecteur directeur de $d$.

Si $b \neq 0$, alors $d$ est une droite qui admet une unique équation réduite de la forme :

• $y = mx + p$

Le vecteur $\vec{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$.