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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Colinéarité
2
Exprimer un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
3
Vecteurs directeurs et équations cartésiennes
1
Colinéarité

    • Définition

      Vecteurs colinéaires

      Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que :
      • u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}

    • Exemple

      Dans un repère du plan, soient u⃗(2;5)\vec{u}(2;5) et v⃗(−4;−10)\vec{v}(-4;-10).
      On a :
      • v⃗=−2u⃗\vec{v}=-2\vec{u}
      • u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont donc colinéaires.

    • Théorème

      Parallélisme

      Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si il existe un réel kk tel que :
      • AB⃗=kCD⃗\vec{AB}=k\vec{CD}

    • Théorème

      Alignement

      Trois points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si il existe un réel kk tel que :
      • AB⃗=kAC⃗\vec{AB}=k\vec{AC}

    • Théorème

      Caractérisation analytique

      Dans un repère du plan, deux vecteurs u⃗ (X;Y)\vec{u}\ (X;Y)  et  v⃗ (X′;Y′)\vec{v}\ (X{'};Y{'}) sont colinéaires si et seulement si :
      • XY′−X′Y=0XY{'}-X{'}Y=0

    • Exemple

      Dans un repère du plan, on a :
      • u⃗(−6;2)\vec{u}(-6 ; 2) et v⃗(9;−3)\vec{v}(9 ; -3).
      • −6×(−3)−2×9=18−18=0-6 \times (-3) - 2 \times 9 = 18 - 18 = 0
      Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont donc colinéaires.
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