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À savoir refaire
1
Les angles
2
Les fonctions sinus et cosinus
1
Les angles

    • Remarque

      La trigonométrie vient du grec (trigonos = triangulaire, metron = mesure) ; c’est la branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les distances.
      Cette discipline est ancienne, elle remonte à l’Egypte antique. Elle a une grande importance en astronomie : un astronome du IIe siècle, Ptolémée, parvint grâce à elle à déterminer une bonne approximation de la circonférence de la Terre.
      Elle est aussi très utile en navigation et en géolocalistaion, car elle est à la base du concept de triangulation.
      Enfin, elle a de vastes applications en physique, car elle permet de décomposer des ondes en composantes plus simples, s’exprimant à l’aide de fonctions trigonométriques : c’est l’analyse de Fourier.

    • ALa mesure en radians

      • Rappel

        On rappelle que les réels peuvent être positionnés le long de la droite réelle.
        • Imaginons alors que l’on puisse déplacer cette droite à la manière d’une corde dans un plan muni d’un repère.
        • On décide ainsi de l’enrouler autour du cercle CC de centre OO et de rayon 11 dans le sens des aiguilles d’une montre, en accolant d’abord l’origine de la droite réelle avec le point de coordonnées (1;0)(1;0).
        • Cette opération permet de placer les nombres réels sur le cercle CC : un réel est associé au point du cercle qui touche la corde au point associé à ce réel.

      • Définition

        Radian

        Le radian est une unité de mesure des angles.
        • La mesure en radian d’un angle AOB^\hat{AOB} correspond à la longueur d’arc du cercle de centre OO et de rayon 11 qui est délimitée par l’angle.
        • On note cette unité rad.

      • Propriété

        Conversion radians/degrés

        Comme un angle plat correspond à une moitié de cercle :
        • π  rad=180∘\pi \; rad = 180^{\circ}
        Et donc pour un angle θ\theta quelconque exprimé en radian, sa valeur α\alpha en degrés est :
        • α=180×θπ\alpha = \frac{180 \times \theta}{\pi}
        Réciproquement, pour un angle aa exprimé en degré, sa mesure θ\theta en radian est :
        • θ=π×a180    rad\theta = \frac{\pi \times a}{180} \;\; rad

      • Exemple

        Quelques angles importants sont à avoir en tête :

        Degré 00° 3030° 4545° 6060° 9090° 180180° 360360°
        Radian 00 π6\frac{\pi}{6} π4\frac{\pi}{4} π3\frac{\pi}{3} π2\frac{\pi}{2} π\pi 2π2\pi
        Portion de cercle associée   douzième de cercle huitième de cercle sixième de cercle quart de cercle moitié de cercle cercle entier

      • Propriété

        Longueur d’un arc de cercle

        La longueur d’un arc de cercle de rayon RR et compris dans un angle de θ\theta radians est :
        • R×θR \times \theta

    • BCercle trigonométrique

      • Définition

        Orientation sur un cercle

        Un cercle de centre OO peut être orienté selon deux sens, opposés l’un de l’autre :
        • le sens direct (aussi appelé sens positif ou trigonométrique) : c’est le sens inverse des aiguilles d’une montre ;
        • le sens indirect (ou négatif) : c’est le sens opposé au sens direct.
        Cela signifie qu’on peut parcourir le cercle selon deux sens.

      • Définition

        Cercle trigonométrique

        Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i}, \vec{j}), le cercle trigonométrique est le cercle de centre OO et de rayon 11, orienté dans le sens direct.

    • CLes angles orientés

      • Définition

        Angle orienté

        Un angle orienté (u⃗;v⃗)(\vec{u};\vec{v}) est une mesure de l’angle :
        • entre deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ;
        • allant de u⃗\vec{u} à v⃗\vec{v} dans le sens direct.

      • Exemple

        On considère le triangle ABCABC rectangle en AA comme représenté ci-dessus. On a :
        • (AC⃗,AB⃗)=π2(\vec{AC},\vec{AB}) = \frac{\pi}{2}, car le triangle est rectangle en AA et c’est la mesure obtenue en allant de AC⃗\vec{AC} à AB⃗danslesensdirect.Onditalorsque\vec{AB} dans le sens direct. On dit alors queABCestletriangledirectrectangleenest le triangle direct rectangle enA..(\vec{AB},\vec{AC}) = \frac{3\pi}{2}carpourallerdecar pour aller de\vec{AB}aˋà\vec{AC}danslesensdirectilfautparcourirl′angleobtusdans le sens direct il faut parcourir l'angle obtus\check{ABC}quiveˊrifiequi vérifie\check{ABC} + \hat{ABC} = 360^{\circ}..

      • Remarque

        Un angle orienté (u⃗;v⃗)(\vec{u};\vec{v}) possède une infinité de valeurs : on peut rajouter autant de tours que l’on veut en allant de u⃗\vec{u} à v⃗\vec{v}, ce qui revient à ajouter 2π2 \pi radians à l’angle pour chaque tour.
        Ainsi si θ\theta est une mesure en radians de l’angle (u⃗;v⃗)(\vec{u};\vec{v}), les mesures possibles de l’angle sont : θ+2kπ\theta + 2k\pi rad pour k∈Zk \in Z.
        On définit alors la mesure principale de (u⃗;v⃗)(\vec{u};\vec{v}).

      • Définition

        Mesure principale

        La mesure principale de (u⃗;v⃗)(\vec{u};\vec{v}) est l’unique mesure en radian de l’angle appartenant à ]−π;π]]-\pi; \pi].

      • Exemple

        • La mesure principale de l’angle (AC⃗;AB⃗)=3π2(\vec{AC};\vec{AB}) = \frac{3\pi}{2} calculé précédemment est −π2-\frac{\pi}{2}, car 3π2=−π2+2π\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi.et −π2∈]−π;π]-\frac{\pi}{2} \in ]-\pi;\pi]
        • La mesure principale de l’angle (u⃗;v⃗)=13π4  rad(\vec{u};\vec{v}) = \frac{13\pi}{4} \; rad est −3π4- \frac{3\pi}{4} car −3π4∈]−π;π]- \frac{3\pi}{4} \in ]-\pi;\pi] et 13π4=−3π4+4π\frac{13\pi}{4} = - \frac{3\pi}{4} +4\pi.

      • Définition

        Angle défini modulo 2π2 \pi

        Deux mesures θ\theta et θ′\theta' d’un angle (u⃗;v⃗)(\vec{u};\vec{v}) sont dites égales modulo 2π2 \pi si il existe un entier k tel que θ′−θ=2kπ\theta' - \theta = 2k\pi. On note alors θ′=θ[2π]\theta' = \theta [2\pi].

      • Exemple

        Dans l’exemple précédent, on a donc vu que 3π2=−π2[2π]\frac{3\pi}{2}= -\frac{\pi}{2} [2\pi].

      • Propriété

        Relation de Chasles

        Si u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont des vecteurs non nuls, on a la relation :
        • (u⃗;v⃗)+(v⃗,w⃗)=(u⃗;w⃗)[2π](\vec{u};\vec{v}) +(\vec{v},\vec{w})=(\vec{u};\vec{w})[2\pi]

      • Propriété

        Relations sur les angles orientés

        De la relation de Chasles, on déduit que pour u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} non nuls :
        • (v⃗;u⃗)=−(u⃗;v⃗)[2π](\vec{v};\vec{u}) = -(\vec{u};\vec{v}) [2\pi]
        • (−u⃗;−v⃗)=(u⃗;v⃗)[2π](-\vec{u};-\vec{v}) = (\vec{u};\vec{v}) [2\pi]
        • (u⃗;−v⃗)=(u⃗;v⃗)+π[2π](\vec{u};-\vec{v}) = (\vec{u};\vec{v})+\pi [2\pi]
        • (−u⃗;v⃗)=(u⃗;v⃗)+π[2π](-\vec{u};\vec{v}) = (\vec{u};\vec{v})+\pi [2\pi]

      • Exemple

        Dans le repère (O;i⃗;j⃗)(O;\vec{i};\vec{j}) orthonormé du plan, soit u⃗\vec{u} un vecteur tel que (i;u⃗)=π3(i;\vec{u}) = \frac{\pi}{3}. Calculons (j⃗;u⃗)(\vec{j};\vec{u}).
        • D’après la relation de Chasles, (i⃗;u⃗)+(u⃗;j⃗)=(i⃗;j⃗)(\vec{i};\vec{u})+(\vec{u};\vec{j}) = (\vec{i};\vec{j}). Or (i⃗,j⃗)=π2[2π](\vec{i},\vec{j}) = \frac{\pi}{2} [2\pi] et (i⃗,u⃗)=π3[2π](\vec{i},\vec{u}) = \frac{\pi}{3} [2\pi].
        • Donc (u⃗;j⃗)=π2−π3[2π]=π6[2π](\vec{u};\vec{j}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} [2\pi] = \frac{\pi}{6} [2\pi].
        • Enfin d’après les formules précédentes, (j⃗;u⃗)=−(u⃗;j⃗)[2π]=−π6[2π](\vec{j};\vec{u}) = -(\vec{u};\vec{j}) [2\pi] = -\frac{\pi}{6} [2\pi].
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