Il est question ici de trouver un entier $k$ tel que :

• $\alpha + 2 k \pi \in ]-\pi;\pi]$ ;
• c’est-à-dire $-\pi \leq \alpha + 2k\pi \leq \pi$.

Comme $-\pi < \frac{11}{3} \pi + 2k\pi \leq \pi$, en soustrayant $\frac{11}{3} \pi$ dans l’encadrement on obtient :

• $-\pi - \frac{11}{3} \pi < 2k\pi \leq \pi - \frac{11}{3} \pi$

En simplifiant :

• $- \frac{14}{3} \pi < 2k\pi \leq - \frac{8}{3} \pi$

On divise le tout par $2\pi$ :

• $- \frac{7}{3} < k \leq - \frac{4}{3}$

Ainsi $k$ est un entier qui est dans l’intervalle $]- \frac{7}{3}; - \frac{4}{3}]$.

• Or cet intervalle contient un seul entier : $-2$.
• Donc $k = -2$.

La mesure principale est donc :

• $\alpha +2k\pi = \frac{11}{3} \pi + 2 \times (-2) \times \pi = - \frac{1}{3} \pi$

L’angle ici vaut $\frac{3 \pi}{8}$. Ce n’est pas une valeur à connaître du cosinus.
On constate que $2 \times \frac{3 \pi}{8} = \frac{3 \pi}{4}$, angle dont on peut connaître simplement une valeur du cosinus (grâce aux valeurs à connaître).
On va donc utiliser les formules de duplication.

En utilisant les valeurs apprises du cosinus, on calcule :

• $\cos(2 \times \frac{3 \pi}{8}) = \cos(\frac{3 \pi}{4}) = \cos(-\pi +\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

D’où, selon l’étape précédente :

• $-\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cos ^2 (\frac{3 \pi}{8}) - 1$

Donc :

• $\cos ^2 (\frac{3 \pi}{8}) = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Comme $0 \leq \frac{3\pi}{8} \leq \frac{\pi}{2}$, l’angle $\frac{3\pi}{8}$ repère un point sur le premier quart du cercle trigonométrique et donc :

• $\cos(\frac{3\pi}{8}) \geq 0$

On a vu que :

• $\cos ^2 (\frac{3 \pi}{8}) = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Donc en passant à la racine :

• $\cos (\frac{3 \pi}{8}) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}$.

Or selon l’étape précédente :

• $\cos(\frac{3\pi}{8}) \geq 0$.

Donc $\cos (\frac{3 \pi}{8}) = \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}$.

On ajoute $1$ et on divise par $\sqrt{2}$ dans l’équation :

• $\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

En se repérant sur le cercle trigonométrique, on constate que les solutions sont les réels $x$ tels que :

• $x = \frac{\pi}{4} [2\pi]$ ;
• ou $x = \frac{3\pi}{4} [2\pi]$.

En effet, on vérifie, à l’aide des valeurs à connaître du sinus, que pour tout entier $k$ :

• $\sin(\frac{\pi}{4}+2k\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin(\frac{3\pi}{4}+2k\pi) = \sin(-\pi + \frac{\pi}{4}+2k\pi) = \sin(\frac{\pi}{4}+2k\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Les solutions sont :

• $\{ \frac{\pi}{4}+2k\pi | k \in Z \}$ ;
• $\{ \frac{3\pi}{4}+2k\pi | k \in Z \}$.