Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique s’il existe $r \in R$ tel que pour tout $n \in N$ :

• $u_{n+1} = u_n + r$
• Le réel $r$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

La suite définie par $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 0$ est arithmétique de raison $3$. On peut calculer les premiers termes :

• $u_0 = 0$ ;
• $u_1 = u_0 + 3 =3$ ;
• $u_2 = u_1 + 3 = 6$, etc.

Cela signifie que si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, on peut calculer un terme de la suite à l’aide du précédent en lui ajoutant $r$.

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. Alors pour $n \in N$, on a :

• $u_n = u_0 + n \times r$

On a une formule similaire à partir d’un rang $p$ quelconque. Pour $n \geq p$ :

• $u_n = u_p + (n-p)\times r$

En reprenant la suite définie précédemment par :

• $u_{n+1} = u_n + 3$ ;
• $u_0 = 0$.

On a pour $n \in N$ :

• $u_n = 3n$

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. Alors pour $n \in N$ :

• $u_0+u_1+ \cdots +u_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$

En posant $u_n = n$ (suite arithmétique de raison $1$), on a d’après ce qui précède :

• $1+2+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$

La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique se calcule selon la formule :

• $\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}2$

En reprenant la suite définie précédemment par $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 0$, on a en utilisant la propriété :

• $u_0+u_1+ \cdots +u_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$

Or comme c’est une suite arithmétique de raison $3$, pour $n \in N$  $u_n = 3n$ :

• $u_0+u_1+ \cdots +u_n = \frac{(n+1)(0+3n)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2}$

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique s’il existe $q \in R$ tel que pour tout $n \in N$ :

• $u_0+u_1+ \cdots +u_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$
• Le réel $q$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

La suite définie par $u_{n+1} = 2 \times u_n$ et $u_0 = 3$ est géométrique de raison $2$.
On peut calculer ses premiers termes :

• $u_0 = 3$ ;
• $u_1 = 2\times u_0 = 6$ ;
• $u_2 = 2\times u_1 = 12$, etc.

Cela signifie que si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, on peut calculer un terme de la suite à l’aide du précédent en le multipliant par $q$.

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. Alors pour $n \in N$, on a :

• $u_n = u_0 \times q^n$

Une formule donne un résultat similaire à partir du terme d’indice $p$. Pour $n \geq p$ :

• $u_n = u_p \times q^{n-p}$

En reprenant la suite définie précédemment par $u_{n+1} = 2 \times u_n$ et $u_0 = 3$, on a pour $n \in N$ :

• $u_n = 3 \times 2^n$

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. Alors pour $n \in N$ :

• si $q \neq 1$ : $u_0 + u_1+ \cdots + u_n = u_0 \times \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ ;
• si $q=1$ : la suite est constante et on a $u_0 + u_1+ \cdots + u_n = (n+1) \times u_0$

En posant $u_n = q^n$ (suite géométrique de premier terme $u_0= 1$ de raison $q$), on a d’après ce qui précède :

• $1 + q +q^2 + \cdots +q^n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$

En reprenant la suite définie précédemment par $u_{n+1} = 2 \times u_n$ et $u_0 = 3$, on a en utilisant la propriété :

• $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = 3\frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 3(2^{n+1}-1)$

La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison différente de $1$ est donnée par la formule :

• $\text{premier terme} \times \frac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

• Pour $q = 1$ ou $u_0 = 0$, $(u_n)$ est constante.
• Pour $q > 1$ :
  • si $u_0 > 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
  • si $u_0 < 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Pour $0<q<1$ :
  • si $u_0 > 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
  • si $u_0 < 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
• Pour $q=0$, $(u_n)$est constante à partir du rang $n=1$.
• Pour $q<0$, $(u_n)$ est de signe alterné.