Une suite  $(u_n)$ est une fonction de $N$ dans $R$.
On dit que $u_n$ est le terme d’indice $n$ de la suite.

La série des chiffres impairs $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$ ; etc. peut être définie à l’aide d’une suite, en posant :

• $u_0=1$ ;
• $u_1 = 3$ ;
• $u_2 = 5$ ;
• $u_3 = 7$, etc.

On remarque ici que le terme d’indice $n$ de la suite ainsi construite vérifie :
$u_n = 2n+1$

• Attention à bien distinguer les notations $(u_n)$ (qui désigne la suite elle-même, c’est-à-dire une fonction de $N$ dans $R$) et $u_n$ (qui est le terme d’indice $n$ de la suite, c’est à dire un nombre).
• Une suite traduit mathématiquement l’idée d’une succession de valeurs. On peut par exemple définir la suite dont le terme de rang $n$ est la population totale en France en l’année $n$. On aurait alors pour certains termes :

… ; $u_{2012} = 65\ 252\ 000$ ; $u_{2013} = 65\ 543\ 000$ ; $u_{2014} = 65\ 821\ 000$.

Afin de définir la valeur du terme de rang $n$ d’une suite $(u_n)$, il existe différentes possibilités, dont les deux suivantes :

• De façon explicite :
  • $u_n = f(n)$ pour tout $n$.
  • L’écriture du terme de rang $n$ de la suite ne dépend que de $n$ et de la fonction $f$ ; sa valeur est donnée par l’expression de $f(n)$.
• Par récurrence :
  • $u_{n+1} = f(u_n)$ pour $n \in N$
  • $u_0 = a$ où $a$ est un réel fixé.
  • Ici la valeur du terme de rang $n+1$ dépend du terme de rang $n$ et d’une fonction $f$, mais plus de $n$. De plus, le premier terme de la suite, $u_0$, est fixé par le réel $a$.

D’autres modes de génération peuvent apparaître :

• Le terme de rang $n+1$ peut dépendre à la fois de $n$ et de $u_n$ comme dans la suite définie par $u_{n+1} = u_n + n$ et $u_0 = 0$.
• Dans un problème, il est aussi possible qu’une suite ne soit pas donnée par une formule, mais par une construction géométrique, ou bien par un énoncé (comme dans l’exemple précédent avec la suite donnant l’évolution de la population française en fonction de l’année).

Pour représenter sur un axe une suite $(u_n)$ définie par récurrence selon $u_{n+1} = f(u_n)$, on peut suivre les étapes suivantes :

1. tracer la courbe représentative de $f$ et celle de $g : x \mapsto x$ (c’est une droite appelée première bissectrice du repère, car elle coupe en deux l’angle entre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées) dans un même graphique $(Oxy)$ ;
2. placer le premier terme $u_0$ sur l’axe $(Ox)$ ;
3. en utilisant la courbe de la fonction $f$, placer l’image de $u_0$ par $f$ sur l’axe $(Oy)$. On a ainsi trouvé l’emplacement de $u_1 = f(u_0)$ sur l’axe $(Oy)$ ;
4. Utiliser la courbe de $g : x \mapsto x$ pour repositionner $u_1$ sur l’axe $(Ox)$. Puis recommencer à l'étape 1. avec le terme $u_1$.

Une suite $(u_n)$ sera dite :

• croissante si pour tout $n \in N$, $u_n \leq u_{n+1}$ ;
• strictement croissante si pour tout $n \in N$, $u_n < u_{n+1}$ ;
• décroissante si pour tout $n \in N$, $u_n \geq u_{n+1}$ ;
• strictement décroissante si pour tout $n \in N$, $u_n > u_{n+1}$ ;
• monotone (respectivement strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (respectivement strictement croissante ou strictement décroissante).

Une suite $(u_n)$ sera dite constante si pour tout $n \in N$ :

• $u_n = u_{n+1}$

Soit $(u_n)$ une suite définie selon : $u_n = f(n)$  pour tout $n \in N$, où $f$ est une fonction définie sur $R^{+}$. Alors :

• si $f$ est croissante (respectivement strictement croissante) alors $(u_n)$ est croissante (respectivement strictement croissante).
• si $f$ est décroissante (respectivement strictement décroissante) alors $(u_n)$ est décroissante (respectivement strictement décroissante).

Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence selon : $u_{n+1} = f(u_n)$
pour tout $n \in N$.

• Si $f$ croît alors :
  • si $u_0 \leq u_1$, $(u_n)$ est croissante ;
  • si $u_0 \geq u_1$, $(u_n)$ est décroissante.
• Si $f$ décroît, alors en général $(u_n)$ n’est ni croissante ni décroissante, même si c’est un cas possible.

Une suite $(u_n)$ est dite :

• minorée s’il existe $m \in R$ tel que pour tout $n \in N$ :
  • $m \leq u_n$ ;
  • un tel $m$ est appelé minorant de la suite ;
• majorée s’il existe $M \in R$ tel que pour tout $n \in N$ :
  • $u_n \leq M$ ;
  • un tel $M$ est appelé majorant de la suite ;
• bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

La suite $u_n = \frac{1}{n+1}$ est majorée car pour $n \in N$, $n+1 \geq 1$ donc $u_n \leq 1$.
Elle est aussi minorée : comme elle est positive on a $u_n \geq 0$, donc $0$ est un minorant de la suite.
Ainsi $(u_n)$ est à la fois minorée et majorée donc elle est bornée.

Pour une suite, être majorée revient à dire que ses termes ne dépasseront jamais une certaine valeur. Par exemple, une suite définissant la proportion d’élèves scolarisés au lycée en France par rapport à la population totale au cours des années est majorée, car elle ne pourra jamais dépasser $100$ %.

Sans donner de définition précise, la limite $l$ d’une suite $(u_n)$ peut se voir comme une valeur réelle pour laquelle la distance (valeur absolue de la différence) entre $l$ et les termes $u_n$ de la suite devient arbitrairement petite, à mesure que $n$ est grand.
On note :

• $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$

Une suite peut ne pas avoir de limite.

La définition précédente donne seulement une idée de ce qu’est une limite. Cependant, la définition précise de limite n’est pas à connaître.