La formule générale donnant le terme de rang $n$ pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est :

• $u_n = u_0+n\times r$ ;
• où $r$ est sa raison.

En comparant, on constate que $(u_n)$ est bien de cette forme, avec  :

• $u_0 = -1$ ;
• $r = 5$.

Ainsi $(u_n)$  est bien arithmétique et sa raison est $5$.

Ici pour $n \in N$ :

• $u_{n+1}-u_n = (5(n+1)-1)-(5n-1) ) = 5$

Ainsi, pour tout $n \in N$ :

• $u_{n+1} = u_n + 5$

Ainsi, $(u_n)$ est arithmétique.

Comme pour tout $n \in N$ :

• $u_{n+1} = u_n + 5$

La raison de la suite est donc $5$.

La formule générale donnant le terme de rang $n$ pour une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est :

• $v_{n} = v_0 \times q^n$
• où $q$ est sa raison.

En comparant, on constate que $(u_n)$ est bien de cette forme, avec :

• $u_0 = 7$
• $q = 3$

Donc $(u_n)$ est bien géométrique et sa raison est $3$.

On vérifie que :

• $u_0 = 7$ ;
• $u_1 = 7\times 3 = 3 \times u_0$ ;
• $u_2 = 7 \times 3 \times 3 = 3 \times u_1$.

La suite semble géométrique de raison $3$.

Pour $n \in N$, $u_n = 7 \times 3^n$, donc les termes de la suite sont tous non nuls.

Ici, pour $n \in N$ :

• $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 \times 3^{n+1}}{7 \times 3^n} = 3$

Ainsi, pour tout $n \in N$ :

• $u_{n+1} = 3 \times u_n$

Ainsi, $(u_n)$ est géométrique.

Pour tout $n \in N$ :

• $u_{n+1} = 3 \times u_n$

La raison de la suite est donc $3$.

Ici, pour $n \in N$ :

• $u_{n+1} - u_n = (u_n)^2$

D’après ce qui précède, pour $n \in N$, la différence de deux termes est :

• $u_{n+1} - u_n = (u_n)^2$

Donc, sachant que le carré d’un réel quelconque est positif, on a :

• $u_{n+1} - u_n \geq 0$

Comme pour $n \in N$, on a $u_{n+1} - u_n \geq 0$, et en transposant le terme $u_n$ à droite de l’inégalité :

• $u_{n+1} \geq u_n$

Ainsi la suite $(u_n)$ est croissante.

Le terme de rang $n+1$ de la suite est défini à l’aide du terme de rang $n$, selon $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction :

• $f : x \mapsto x^3$

On constate que cette fonction est croissante.

La suite $(u_n)$ est définie par récurrence à l’aide de la fonction $f$ qui est croissante. Il suffit donc de comparer $u_0$ et $u_1$ pour conclure. Or :

• $u_0 = 2 < 8 = u_1$.

Donc la suite $(u_n)$ est croissante d’après la propriété du cours sur les variations d’une suite définie par récurrence.