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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
La notion de suite
2
Suites arithmétique et géométrique
Formules et Théorèmes

  • Suite définie par récurrence

    Une suite (un)(u_n) est définie par récurrence s’il existe une fonction ff et un réel aa fixé tels que :
    u0=au_0 = a
    un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) pour n∈Nn \in N

  • Suite définie avec nn

    Une suite (un)(u_n) peut être définie uniquement à l’aide de nn et d’une fonction ff en posant pour tout n∈Nn \in N :
    un=f(n)u_{n} = f(n)

  • Expressions d’une suite arithmétique

    Soit une suite arithmétique (un)(u_n) de raison rr définie par récurrence. Pour tout n∈Nn \in N :
    un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r
    un=up+(n−p)×ru_n = u_p + (n-p) \times r

  • Expressions d’une suite géométrique

    Soit une suite géométrique (un)(u_n) de raison qq et définie par récurrence. Pour tout n∈Nn \in N :
    un+1=q×unu_{n+1} = q \times u_n
    un=up×qn−pu_n = u_p \times q^{n-p}

  • Somme de termes d’une suite arithmétique

    Pour une suite arithmétique (un)(u_n) de raison rr, la somme des termes consécutifs entre (up)(u_p) et (ud)(u_d) est donnée par :
    up+...+ud=(d−p+1)×ud+up2u_p + ... + u_d = (d-p+1) \times \frac{u_d+u_p}{2}
    1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}

  • Somme de termes d’une suite géométrique

    Pour une suite géométrique(un)(u_n) de raison q≠1q \neq 1, la somme  à partir du rang pp de termes consécutifs de la suite est donnée par :
    up+...+ur=up×1−q(nombre de termes)1−qu_p+...+u_r = u_p \times \frac{1-q^{(\text{nombre de termes})}}{1-q}
    1+q+...+qn=1−qn+11−q1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

  • Suite (strictement) croissante

    Une suite (un)(u_n) est dite croissante si pour tout n∈Nn \in N :
    un≤un+1u_n \leq u_{n+1}
    Elle est strictement croissante quand un<un+1u_n < u_{n+1}

  • Suite (strictement) décroissante

    Une suite (un)(u_n) est dite décroissante si pour tout n∈Nn \in N :
    un≥un+1u_n \geq u_{n+1}
    Elle est strictement décroissante quand un>un+1u_n > u_{n+1}

  • Suite constante

    Une suite (un)(u_n) est dite constante si pour tout n∈Nn \in N :
    un=un+1u_n = u_{n+1}

  • Trouver la monotonie d’une suite définie par récurrence

    Soit (un)(u_n) une suite définie par récurrence selon : un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) pour tout n∈Nn \in N.
    Si ff croît alors :
    Si u0≤u1u_0 \leq u_1, alors (un)(u_n) est croissante.
    Si u0≥u1u_0 \geq u_1, alors (un)(u_n) est décroissante.

  • Trouver la monotonie d’une suite définie à l’aide de nn

    Soit (un)(u_n) une suite définie selon un=f(n)u_n = f(n) pour tout n∈Nn \in N.
    Si ff croît alors (un)(u_n) croît.
    Si ff décroît alors (un)(u_n) décroît.

  • Sens de variation d’une suite géométrique

    Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison qq.
    Si q=1q=1 ou u0=0u_0=0, alors (un)(u_n) est constante.

    Si q>1q>1 et u0>0u_0 >0, alors  (un)(u_n) est strictement croissante.
    Si q>1q>1 et u0<0u_0 <0, alors (un)(u_n) est strictement décroissante.

    Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_0 >0, alors (un)(u_n) est strictement décroissante.
    Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_0 <0, alors (un)(u_n) est strictement croissante.

    Si q=0q=0, (un)(u_n) est constante à partir du rang n=1.

    Si q<0q<0
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