Soit f une fonction et a un réel dans son domaine de définition. f est dite dérivable en a si le taux d'accroissement hf(a+h)−f(a), pour h non nul, admet une limite finie quand h tend vers 0. On note :
f′(a)=limh→0hf(a+h)−f(a)
Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point d’abscisse a
Soit f une fonction dérivable en un point a, de courbe représentative Cf. La tangente à Cf au point de coordonnées (a;f(a)) est la droite d'équation :
y=f′(a)(x−a)+f(a)
Dérivée d'une fonction constante
Soit f la fonction définie par f(x)=c avec c un réel.
f′(x)=0 sur R
Dérivée de f(x)=x
Soit f la fonction définie par f(x)=x.
f′(x)=1 sur R
Dérivée de f(x)=xn
Soit f la fonction définie par f(x)=xn avec n≥1 un entier.
f′(x)=nxn−1 sur R
Dérivée de la fonction inverse
Soit f la fonction définie par f(x)=x1.
f′(x)=−x21 sur R∗
Dérivée de f(x)=xn1
Soit f la fonction définie par f(x)=xn1 avec n≥1 un entier.
f′(x)=−xn+1n sur R∗
Dérivée de la fonction racine carrée
Soit f la fonction définie par f(x)=x.
f′(x)=2x1 sur ]0;+∞[
Dérivées de somme et de produit de fonctions
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
(λu)′=λu′ (u+v)′=u′+v′ (uv)′=u′v+uv′
Dérivé de quotient de fonction
Soient u, v deux fonctions dérivables sur un intervalle I où v ne s'annule pas. Alors v1 et vu sont dérivables, de dérivées données par :
(v1)′=−v2v′ (vu)′=v2u′v−uv′
Sens de variation d'une fonction dérivable
Soit f une fonction dérivable définie sur un intervalle I.
Si f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I. Si f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
Extrema d'une fonction dérivable
Soit f une fonction dérivable définie sur un intervalle ouvert I, et a∈I.
Si f admet un extremum (minimum ou maximum) en a, alors f′(a)=0. Si f′ s’annule et change de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Tangente en un extremum
Soit f une fonction dérivable définie sur un intervalle ouvert I admettant un extremum en un réel a de I. Comme f′(a)=0, la courbe représentative de la fonction f admet au point de coordonnées (a;f(a)) une tangente horizontale d'équation :