undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

À savoir refaire

Nombre dérivé

Dérivation de fonctions

Dérivation et étude de fonctions

- ASens de variation d'une fonction
  - Propriété
    Sens de variation d'une fonction dérivable
    Soit $f$ une fonction dérivable définie sur un intervalle $I$ .
    
    Si $f'$ est positive sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
    
    Si $f'$ est négative sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
  - Remarque
    Cette propriété permet de trouver le sens de variation d'une fonction sur un intervalle $I$ en étudiant seulement le signe de la dérivée de cette fonction sur $I$ .
    
    En général, les dérivées calculées ne sont pas toujours de même signe ; il faut alors découper leur domaine de définition en intervalles sur lesquels elles gardent un signe constant, et en déduire ainsi le sens de variations de la fonction sur chaque intervalle.
  - Exemple
    Retrouvons, à l'aide du calcul de dérivée, les variations de la fonction $f(x) = x^2$ .
    
    D'après le formulaire, cette fonction est dérivable sur $R$ ; sa dérivée est $f'(x) = 2x$ .
    
    Donc si $x \leq 0$ , $f'(x) \leq 0$ et si $x \geq 0$ , alors $f'(x) \geq 0$ .
    
    Ainsi, on retrouve bien que $f$ décroît sur $]-\infty; 0]$ et croît sur $[0;+\infty[$ .
- BExtrema d'une fonction
  - Définition
    Intervalle ouvert
    Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme $]a;b[$ , $]a;+\infty[$ , $]-\infty;b[$ ou $]-\infty;+\infty[$ où $a$ et $b$ sont des réels tels que $a < b$ .
  - Propriété
    Extrema d'une fonction dérivable
    Soit $f$ une fonction dérivable définie sur un intervalle ouvert $I$ , et $a \in I$ .
    
    Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ , alors $f'(a) = 0$ .
    
    Si $f'$ s’annule et change de signe en $a$ , alors $f$ admet un extremum local en $a$ .
  - Remarque
    Il est important que $f'(x)$ change de signe en $a$ , et non pas seulement qu'elle s'annule en $a$ , pour avoir un extremum en $a$ .
    
    Par exemple, la fonction $f(x) = x^3$ a pour dérivée $f'(x) = 3x^2$ qui s'annule en $0$ sans changer de signe.
    
    Or $f$ n'admet pas d'extremum local en $0$ .
  - Propriété
    Tangente en un extremum
    Soit $f$ une fonction dérivable définie sur un intervalle ouvert $I$ , admettant un extremum en un réel $a$ de $I$ .
    
    Comme $f '(a)=0$ , la courbe représentative de la fonction $f$ admet au point de coordonnées $(a;f(a))$ une tangente horizontale d'équation $y = f(a)$ .