undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

Fiches de cours

0 pts

Formules et Théorèmes

À savoir refaire

Nombre dérivé

Dérivation de fonctions

Dérivation et étude de fonctions

2

Dérivation de fonctions

AFonction dérivée
- Définition
  Fonction dérivée
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et dérivable en tout point de $I$ .
  
  On dit que $f$ est dérivable sur $I$ .
  
  La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur $I$ qui à tout point $x$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x$ : $f': x \in I \mapsto f'(x)$ .

BDérivées de fonctions usuelles

Propriété

Dérivées de fonctions usuelles

Le tableau suivant donne les dérivées de fonctions usuelles :

$f$	$f'$	Domaine de dérivabilité
$c$	$0$	$R$
$x$	$1$	$R$
$x^n$ , $n \geq 1$	$nx^{n-1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$R^{*}$
$\frac{1}{x^n}$ , $n \geq 1$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$R^{*}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$

Remarque
La fonction $x \to \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ car pour $h$ non nul, $\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$ .
- Donc le taux d'accroissement en $0$ tend vers l'infini quand $h$ tend vers $0$ .
- On dit que la courbe représentative de la fonction $x \to \sqrt{x}$ admet une demie tangente verticale au point de coordonnées $(0;0)$ .

COpérations sur les fonctions et dérivation
- Propriété
  Dérivées sur les opérations de fonctions
  Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ .
  
  Alors $\lambda u$ , $u+v$ et $uv$ sont aussi dérivables sur $I$ :
  
  $(\lambda u )' = \lambda u'$ ;
  
  $(u+v)' = u'+v'$ ;
  
  $(uv)' = u'v+uv'$ .
- Exemple
  Montrons que la fonction $f(x) = x^4-2x^3+x-5$ définie sur $R$ est dérivable et calculons sa dérivée.
  
  Les fonctions $x \to x^4$ , $x \mapsto -2x^3$ $x \mapsto x$ et $x \mapsto -5$ sont dérivables sur $R$ d'après le formulaire de dérivation des fonctions usuelles.
  
  Comme $f$ est la somme de ces fonctions, $f$ est dérivable d'après la propriété précédente ;
  
  et on a :
  $f'(x) = (x^4)'+(-2x^3)'+x'+(-5)'$
  $f'(x) = 4x^3+(-2) \times 3 x^2+1+0 = 4x^3-6x^2+1$ .
- Propriété
  Opérations sur les dérivées de fonctions
  Soient $u$ , $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ où $v$ ne s'annule pas.
  
  Alors $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont dérivables, de dérivées données par :
  
  $(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$ ;
  
  $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .

Niveau 3ème >

Français Histoire Géographie Mathématiques SVT Physique-Chimie Espagnol Mentions légales

Mes enfants

Fermer

6ème 5ème 4ème 3ème 2nde Première Terminale

Mon Profil

remplacer

Mon Profil

remplacer

Mon Profil

remplacer

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.