Soit $f$ une fonction et $a$ un réel dans son domaine de définition.

• $f$ est dite dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, pour $h$ non nul, admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.

On appelle cette limite nombre dérivé de $f$ en $a$, et on le note :

• $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Calculons le nombre dérivé en $0$ de la fonction $f$ définie pour tout $x$ par $f(x) = x^2$.

• Pour $h$ non nul, $\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{h^2}{h} = h$. Or $\lim_{h \to 0} h = 0$.
• Donc $f$ est bien dérivable en $0$ et $f'(0)=0$.

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $C_f$ dérivable en un point $a$.

• La tangente à $C_f$ au point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ est la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$ ;
• elle admet pour équation réduite $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.

La tangente peut être interprétée comme la droite qui approche le mieux la courbe représentative de $f$ en un point.

Calculons l’équation de la tangente en $1$ de la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^2$.

• Pour $h$ non nul, le taux d'accroissement en $1$ vaut $\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2-1}{h} = \frac{h^2+2h}{h} = h+2$.
• Or $h+2$ tend vers $2$ quand $h$ tend vers $0$.
• Donc $f$ est bien dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$.
• La tangente à la courbe représentative de $f$ au point de coordonnées $(1;1)$ a donc pour équation $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$.