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1
Nombre dérivé
2
Dérivation de fonctions
3
Dérivation et étude de fonctions
1
Nombre dérivé
Définition
Nombre dérivé d'une fonction en un point
Soit
f
f
f
une fonction et
a
a
a
un réel dans son domaine de définition.
f
f
f
est dite dérivable en
a
a
a
si le taux d'accroissement
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
h
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
, pour
h
h
h
non nul, admet une limite finie quand
h
h
h
tend vers
0
0
0
.
On appelle cette limite nombre dérivé de
f
f
f
en
a
a
a
, et on le note :
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
h
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
Exemple
Calculons le nombre dérivé en
0
0
0
de la fonction
f
f
f
définie pour tout
x
x
x
par
f
(
x
)
=
x
2
f(x) = x^2
f
(
x
)
=
x
2
.
Pour
h
h
h
non nul,
f
(
0
+
h
)
−
f
(
0
)
h
=
h
2
h
=
h
\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{h^2}{h} = h
h
f
(
0
+
h
)
−
f
(
0
)
=
h
h
2
=
h
. Or
lim
h
→
0
h
=
0
\lim_{h \to 0} h = 0
lim
h
→
0
h
=
0
.
Donc
f
f
f
est bien dérivable en
0
0
0
et
f
′
(
0
)
=
0
f'(0)=0
f
′
(
0
)
=
0
.
Propriété
Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point
Soit
f
f
f
une fonction de courbe représentative
C
f
C_f
C
f
dérivable en un point
a
a
a
.
La tangente à
C
f
C_f
C
f
au point
A
A
A
de coordonnées
(
a
;
f
(
a
)
)
(a;f(a))
(
a
;
f
(
a
))
est la droite passant par
A
A
A
de coefficient directeur
f
′
(
a
)
f'(a)
f
′
(
a
)
;
elle admet pour équation réduite
y
=
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
(
a
)
y = f'(a)(x-a)+f(a)
y
=
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
(
a
)
.
Remarque
La tangente peut être interprétée comme la droite qui approche le mieux la courbe représentative de
f
f
f
en un point.
Exemple
Calculons l’équation de la tangente en
1
1
1
de la courbe représentative de la fonction
f
(
x
)
=
x
2
f(x) = x^2
f
(
x
)
=
x
2
.
Pour
h
h
h
non nul, le taux d'accroissement en
1
1
1
vaut
f
(
1
+
h
)
−
f
(
1
)
h
=
(
1
+
h
)
2
−
1
h
=
h
2
+
2
h
h
=
h
+
2
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2-1}{h} = \frac{h^2+2h}{h} = h+2
h
f
(
1
+
h
)
−
f
(
1
)
=
h
(
1
+
h
)
2
−
1
=
h
h
2
+
2
h
=
h
+
2
.
Or
h
+
2
h+2
h
+
2
tend vers
2
2
2
quand
h
h
h
tend vers
0
0
0
.
Donc
f
f
f
est bien dérivable en
1
1
1
et
f
′
(
1
)
=
2
f'(1) = 2
f
′
(
1
)
=
2
.
La tangente à la courbe représentative de
f
f
f
au point de coordonnées
(
1
;
1
)
(1;1)
(
1
;
1
)
a donc pour équation
y
=
2
(
x
−
1
)
+
1
=
2
x
−
1
y = 2(x-1)+1 = 2x-1
y
=
2
(
x
−
1
)
+
1
=
2
x
−
1
.
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