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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Nombre dérivé
2
Dérivation de fonctions
3
Dérivation et étude de fonctions
À savoir refaire

  • Calculer la dérivée d'une fonction à l'aide des formules

    Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par f(x)=xx2+1f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2+1}.
    Montre que ff est dérivable et calcule sa dérivée.
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      Montrer que ff est dérivable à l'aide des formules

      ff est dérivable comme somme, produit et quotient de fonctions dérivables :
      • x→xx \to \sqrt{x} est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
      • x→1x2+1x \to \frac{1}{x^2+1} est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ car x↦x2+1x \mapsto x^2+1 est dérivable et ne s'annule pas.
      Ainsi ff est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ comme produit de ces deux fonctions dérivables.
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      Calculer la dérivée à l'aide des formules

      • On utilise la formule de dérivation d’un quotient de deux fonctions uu, vv :
        • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} ;
        • f′(x)=(x)′(x2+1)−x(x2+1)′(x2+1)2f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x^2+1)-\sqrt{x}(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}.
      • On se sert des formules de dérivation de xnx^n et x\sqrt{x} :
        • f′(x)=12x(x2+1)−x×2x(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+1)-\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+1)^2}
      • On regroupe tout au même numérateur :
        • f′(x)=12x(x2+1)−x×2x(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+1)-\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+1)^2}
          f′(x)=x2+1−2x×x×2x2x(x2+1)2f'(x) = \frac{\frac{x^2+1-2\sqrt{x} \times \sqrt{x} \times 2x}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}
          f′(x)=−3x2+12x(x2+1)2f'(x) = \frac{-3x^2+1}{2\sqrt{x}(x^2+1)^2}
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      Conclusion

      On obtient :
      • f′(x)=−3x2+12x(x2+1)2f'(x) = \frac{-3x^2+1}{2\sqrt{x}(x^2+1)^2}

  • Tracer la tangente à la courbe représentative d'une fonction

    Trace la tangente en 11 de la fonction f(x)=2x+3x−2f(x) = \frac{2x+3}{x-2} définie sur I=]−∞;2[I = ]-\infty;2[.
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      Calculer la dérivée de ff

      La fonction ff est dérivable car x↦2x+3x \mapsto 2x+3 et x↦x−2x \mapsto x-2 sont dérivables sur II. Sa dérivée se calcule selon :
      • f′(x)=(2x+3)′(x−2)−(2x+3)(x−2)′(x−2)2=2(x−2)−(2x+3)(x−2)2=−7(x−2)2f'(x) = \frac{(2x+3)'(x-2)-(2x+3)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2)^2} = -\frac{7}{(x-2)^2}
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      Déterminer l'équation de la tangente en 11

      La formule de la tangente donnée par le cours au point d’abscisse 11 est :
      • y=f′(1)(x−1)+f(1)y = f'(1)(x-1)+f(1).
      Selon le calcul de f′f' fait au premier point :
      • f′(1)=−7(1−2)2=−7f'(1) = -\frac{7}{(1-2)^2} = -7
      On a aussi :
      • f(1)=−5f(1) = -5

      D'où l'équation de la tangente :
      • y=−7(x−1)−5=−7x+2y = -7(x-1)-5 = -7x+2

  • Déterminer le sens de variation d'une fonction

    Soit ff la fonction définie sur RR par f(x)=x+1x2+x+1f(x) = \frac{x+1}{x^2+x+1}.
    Dresse le tableau de variation de ff.
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      Calculer la dérivée de ff

      ff est dérivable comme somme, produit et quotient de fonctions dérivables.
      On obtient :
      • f′(x)=(x+1)′×(x2+x+1)−(x+1)×(x2+x+1)′(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(x+1)' \times (x^2+x +1) - (x+1) \times (x^2+x+1)'}{(x^2+x+1)^2} (dérivation d'un quotient de deux fonctions).
      D'où :
      • f′(x)=(x2+x+1)−(x+1)(2x+1)(x2+x+1)2=−x2−2x(x2+x+1)2f'(x) = \frac{(x^2+x+1)-(x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2}
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      Déterminer le signe de f′f'

      Le dénominateur de f′f' est un carré donc toujours positif, et non nul car le discriminant de x2+x+1x^2+x+1 est négatif.
      Ainsi le signe de f′f' ne dépend que du numérateur −x(x+2)-x(x+2) :
      • Si x∈]−∞;−2]x \in ]-\infty;-2], alors f′(x)≤0f'(x) \leq 0.
      • Si x∈[−2;0]x \in [-2;0], alors f′(x)≥0f'(x) \geq 0.
      • Si x∈[0;+∞[x \in [0;+\infty[, alors f′(x)≤0f'(x) \leq 0.
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      En déduire le sens de variation de ff

      Le cours indique que ff croît sur les intervalles où f′f' est positive, et décroît sur ceux où f′f' est négative. Donc :
      • sur ]−∞;−2]]-\infty;-2]: ff décroît ;
      • sur [−2;0][-2;0] : ff croît ;
      • sur [0;+∞[[0;+\infty[ : ff décroît.
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