Soient u une fonction et k un réel. On considère la fonction f=u+k définie par f(x)=u(x)+k pour tout réel x.
Alors f et u ont le même sens de variation.
Remarque
La fonction f=u+k a pour représentation graphique la courbe représentative de u translatée verticalement de k unités.
Exemple
Ci-dessous sont représentés les graphes des fonctions x↦∣x∣, x↦∣x∣−2 et x↦∣x∣+3. Elles ont les mêmes variations.
BFonction de la forme $$\lambda u$$
Propriété
Sens de variation d’une fonction f=λu
Soient u une fonction et λ un réel. On considère la fonction f=λu définie par f(x)=λu(x) pour tout réel x.
Si λ>0, alors f et u ont le même sens de variation.
Si λ=0, alors f(x) vaut toujours 0.
Si λ<0, alors f et u ont des sens de variation opposés.
Remarque
Si λ≥1, la fonction f=λu a pour représentation graphique la courbe représentative de u qui a subi un agrandissement vertical d’un facteur d’agrandissement λ par rapport à l’axe des abscisses.
Si 0≤λ≤1, alors il s’agit plutôt d’une réduction.
Lorsque λ<0, on observe les mêmes changements sur la courbe représentative de f, avec en plus une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple
Ci-dessous sont représentés les graphes des fonctions x↦−0,7x2, x↦x2 et x↦2x2. On constate que x↦x2 et x↦2x2 ont le même sens de variation, alors que x↦x2 et x↦−0,7x2 ont des sens de variation opposés.
CFonctions de la forme $$\sqrt{u}$$
Propriété
Sens de variation de la racine carrée d’une fonction positive
Soit u une fonction positive. On considère la fonction f=u définie par f(x)=u(x) pour tout réel x tel que u(x)≥0 . Alors :
f et u ont le même sens de variation.
Remarque
Pour pouvoir définir la racine carrée d’une fonction u, il est très important que u soit positive partout sur son intervalle de définition.
Exemple
Ci-dessous sont représentés les graphes des fonctions x↦x2 et x↦x2. Elles ont le même sens de variation.
DFonctions de la forme $$\frac{1}{u}$$
Propriété
Sens de variation de u1
Soit u une fonction qui ne s’annule pas et qui garde un signe constant. On considère la fonction f=u1 définie par f(x)=u(x)1 pour tout réel x tel que u(x)=0. Alors :
f et u ont des sens de variation opposés.
Remarque
Pour pouvoir définir f=u1 , il faut que u ne s’annule pas.
L’hypothèse que u garde un signe constant est importante. Par exemple, la fonction u définie par :
u(x)=1 si x≥0 ;
u(x)=−1 si x<0 ;
est croissante sur R.
Or u1=u. Donc u1 e tu ont même sens de variation (elle sont croissantes).
Ceci s’explique par le fait que u change de signe en 0.
Exemple
Ci-dessous sont représentés les graphes des fonctions x↦x2+1 (strictement positive) et x↦x2+11. Elles ont des sens de variation opposés.
ESomme et produit de deux fonctions
Remarque
On ne peut rien dire a priori sur le sens de variation d’une somme de deux fonctions f et g quelconques.
Exemple
Si les deux fonctions sont de monotonies opposées, leur somme peut être aussi bien croissante que décroissante :
La fonction x↦x2+x est croissante sur [0;+∞[. De plus x↦−x est décroissante. La somme de ces deux fonction est x↦(x2+x)+(−x)=x2 est croissante sur [0;+∞[.
La fonction x↦x est croissante sur sur [0;+∞[ et x↦−2∣x∣ est décroissante sur [0;+∞[. Or pour x positif, x−2∣x∣=x−2x=−x. Donc leur somme est décroissante sur [0;+∞[.
Remarque
De même que dans le cas d’une somme, on ne peut rien dire sur le sens de variation d’un produit de fonctions quelconques.