La fonction carrée est la fonction définie sur $R$ par $f(x) = x^2$.
Elle est :

• positive ;
• décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ ;
• croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

La fonction inverse est la fonction définie pour tout $x \neq 0$ par $f(x) = \frac{1}{x}$. Elle est :

• décroissante sur l’intervalle $]-\infty; 0[$ ;
• décroissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.

La fonction valeur absolue est la fonction définie sur $R$ par :

• $f(x) = x$ si $x \geq 0$ ;
• $f(x) = -x$ si $x<0$.

On la note :

• $f(x) = |x|$ pour tout réel $x$.

La valeur absolue d’une quantité est cette même quantité si celle-ci est positive, et c’est son opposé si celle-ci est négative.

La fonction valeur absolue est positive, c’est-à-dire que pour tout réel $x$ :

• $|x| \geq 0$

Quand $x < 0$, on a $|x| = -x$ qui est une quantité positive, malgré la présence du signe
« $-$ ».

La fonction valeur absolue est :

• décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ ;
• croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$

La fonction racine carrée est la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par

• $f(x) = \sqrt{x}$

La racine carrée n’existe que pour les réels positifs. Il faut donc bien faire attention au signe de $x$ quand on écrit $\sqrt{x}$.

La fonction racine carrée est positive, c’est-à-dire que pour tout réel $x$

• $\sqrt{x} \geq 0$

La fonction racine carrée a le tableau de variation suivant :
La fonction racine carrée est :

• croissante sur $[0;+\infty[$.

Cette courbe est une demie parabole de sommet $O$. En effet, la courbe représentative de la fonction racine carrée est l’ensemble des points $(x,y)$ tels que $x \geq 0$ et $y=\sqrt{x}$.

En particulier on a $x = y^2$ et $y\geq 0$. On observe donc le symétrique par rapport à la première bissectrice de la partie positive de la fonction carrée, qui est une branche de parabole.

Pour $0 \leq x \leq 1$, on a :

• $x^2 \leq x \leq \sqrt{x}$

Pour $1 \leq x$, on a :

• $\sqrt{x} \leq x \leq x^2$

Pour tout réel $x$ :

• $\sqrt{x^2} = |x|$