Établir le tableau de variations de la fonction f définie sur R par f(x)=3−2(∣x∣+1).
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Écrire f à l’aide de fonctions usuelles
Si on pose u(x)=∣x∣, alors on a :
f(x)=3−2(u+1)
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Déterminer le sens de variation de u et éventuellement son signe
La fonction valeur absolue est une fonction à connaître :
elle décroît sur ]−∞;0] et croît sur [0;+∞[.
Elle est positive sur l’ensemble des réels.
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Établir progressivement le sens de variation en partant de la fonction u
Dans f la première fonction contenant u qui apparaît est : u+1. Le cours indique qu’elle a le même sens de variation que u : elle décroît sur ]−∞;0] et croît sur [0;+∞[.
La fonction u+1 est ensuite multipliée par un facteur −2, ce qui change le sens de variation en son opposé. −2(u+1) est croissante sur ]−∞;0] et décroissante sur [0;+∞[.
f est obtenue à partir de −2(u+1) en ajoutant 3 ce qui ne change pas le sens de variation.
Les trois points précédents permettent de compléter ligne par ligne le tableau de variation suivant.
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Déduire le sens de variation de f
On en déduit que f est :
croissante sur ]−∞;0] ;
et décroissante sur [0;+∞[.
Déterminer les extrema d’une fonction
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1+(x−4)2+12.
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Établir le sens de variation de f
On applique la méthode précédente :
x↦(x−4)2 est décroissante sur ]−∞;4]et croissante sur [4;+∞[.
x↦(x−4)2+1 est du même sens de variation que x↦(x−4)2, c’est à dire décroissante sur ]−∞;4] et croissante sur [4;+∞[.
Or x↦(x−4)2+1 est de signe constant positif, donc x↦(x−4)2+12 a un sens de variation opposé à celui de x↦(x−4)2+1 : elle croît sur ]−∞;4]et décroît sur [4;+∞[.
x↦1+(x−4)2+12 a le même sens de variation que x↦(x−4)2+12.
Ainsi, f croît sur ]−∞;4] et décroît sur [4;+∞[.
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Tracer un tableau de variation
Trace le tableau de variation en calculant les valeurs de la fonction aux changements de sens de variation.
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Conclure sur les extrema
D’après le tableau de variation, f atteint un maximum en α=4. Il vaut f(α)=3.