undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

Discriminant, sommet et forme canonique

Étude des racines d’un polynôme du second degré

Signe d'un polynôme du second degré

À savoir refaire

Formules et Théorèmes

Discriminant d’un polynôme du second degré
Soit $P(x) = ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\Delta = b^2-4ac$
Racines d’un polynôme du second degré
Soit $P(x) = ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré et $\Delta$ son discriminant.
$\Delta <0$ : $P$ n’a aucune racine dans $R$ ;
$\Delta = 0$ : $P$ admet une unique racine $x_0 = -\frac{b}{2a}$
$\Delta > 0$ : $P$ admet deux racines distinctes $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Sommet de la courbe représentative d’un polynôme du second degré
Soit $P(x) = ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré. Sa courbe représentative est une parabole de sommet S (qui est un maximum si $a<0$ , un minimum sinon) de coordonnées $S(x_s\ ;P(x_s))$ .
$x_s = - \frac{b}{2a}$
Forme canonique d’un polynôme du second degré
Soient $P(x) = ax^2+bx+c$ un polynôme du second degré et $\Delta$ son discriminant, $x_s$ l’abscisse du sommet de la parabole qui le représente. La forme canonique de P est :
$P(x) = a\left[(x-x_s)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$
Forme factorisée d’un polynôme du second degré
Soient $P(x) = ax^2+bx+c$ polynôme du seconde degré et $\Delta = b^2-4ac$ son discriminant.
$\Delta <0$ : $P$ ne peut pas se factoriser dans $R$ .
$\Delta = 0$ : $P$ admet la forme factorisée $P(x) = a(x-x_0)^2$ où $x_0$ est l’unique racine réelle de $P$ .
$\Delta > 0$ : $P$ admet la forme factorisée $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines réelles distinctes de $P$ .
Signe d’un polynôme du second degré
Soient $P(x) = ax^2+bx+c$ polynôme du seconde degré et $\Delta = b^2-4ac$ son discriminant.
$\Delta <0$ : $P$ est du signe de $a$ sur $R$ .
$\Delta = 0$ : $P$ est du signe de $a$ sur $R$ , sauf en l’unique racine $x_0$ où il s’annule.
$\Delta > 0$ : $P$ est du signe opposé à a sur l’intervalle $[x_1;x_2]$ , et du signe de $a$ sur $R \setminus [x_1;x_2]$ où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines réelles distinctes de $P$ .