L’étude des polynômes n’est pas une discipline récente des mathématiques : déjà le mathématicien grec Diophante (II^e siècle avant J.-C.) s’intéressait à l’étude d’équations polynomiales quadratiques ; puis Al-Khwarizmi (IX^e siècle) en donne une méthode de résolution. Une question fondamentale en algèbre est de savoir si une équation polynomiale admet toujours une solution. Un théorème très célèbre, le théorème de d’Alembert-Gauss, répond à cette question par l’affirmative, à condition de considérer les solutions dans un ensemble plus grand que $R$, les nombres complexes. Mais peut-on toujours calculer ces solutions à l’aide d’opérations simples (on parle de résolution « par radicaux ») ? Des méthodes de résolution existent pour les équations de degré $2$ (vues dans ce cours), de degré $3$ (méthode de Cardan-Tartaglia), ou de degré $4$ (méthode de Ferrari). Mais cela est impossible en général pour les équations de degré au moins $5$. Ce résultat a été prouvé en partie par Abel puis généralisé par Galois au XIX^e siècle. Un exemple d’équation de degré $5$ non résoluble par radicaux est $x^5-3x-1 = 0$.

Une fonction affine est une fonction définie sur $R$ qui est de la forme $f(x) = ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels. 

• Sa courbe représentative dans un repère du plan est une droite qui passe par l’origine si $b=0$ (la fonction est alors linéaire) et qui passe par le point de coordonnées $(0\ ;b)$.
• Elle est horizontale dans le cas particulier où $a=0$. Le nombre $a$ représente le coefficient directeur de cette droite, et $b$ l’ordonnée à l’origine.

Les polynômes du second degré (ou « trinômes du second degré ») sont des fonctions qui s’écrivent sous la forme :

• $P(x) = ax^2+bx+c$

avec $a$, $b$, $c$ réels, $a \neq 0$.

Étant donné un polynôme du second degré écrit sous la forme $P(x) =ax^2+bx+c$ (avec $a \neq 0$), on appelle discriminant de $P$ le nombre réel :

• $\Delta = b^2-4ac$

Un polynôme du second degré $P$ peut s’écrire sous la forme particulière suivante, appelée forme canonique de $P$ :

• $P(x) = a[(x-x_s)^2-\frac{\Delta}{4a^2}]$

où :

• $a$ est le coefficient du monôme de degré $2$.
• $x_s = -\frac{b}{2a}$
• $\Delta$ est le discriminant de P.

La courbe représentative d’un polynôme du second degré $P(x) = ax^2+bx+c$ (avec $a \neq 0$) est une parabole, dont le sommet S est atteint en $x = x_s$ avec :

• $x_s = -\frac{b}{2a}$

Autrement dit, le sommet $S$ de la parabole est le point de coordonnées $S$ $(x_s,\ ;(x_s))$

La courbe représentative d’un polynôme du second degré $P(x) = ax^2+bx+c$ (avec $a \neq 0$) est symétrique par rapport à la droite d’équation $x = -\frac{b}{2a}$.